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4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
On tient là l'essence de la théorie de Poincaré et Einstein de la relativité restreinte du mouvement. Il n'y a pas un espace et un temps séparé,
mais un espace-temps à quatre dimensions, dont les trois dimensions
spatiales et la dimension temporelle ne sont que des projections.
Encadré 4.2 : Invariant relativiste (relativité restreinte)
Deux événements très proches l'un de l'autre sont séparés spatialement par
des intervalles dx, dy et dz sur trois axes orthogonaux, et par un intervalle
de temps dt, dans un repère donné. (On appelle événement l'ensemble
des quatre coordonnées spatiales et temporelle). En relativité restreinte,
ce n'est plus ni l'intervalle spatial,
dt 2 = di + di + di '
ni l'intervalle temporel
dt,
qui sont invariants dans un changement de système de coordonnées, mais
une combinaison quadri-dimensionnelle des deux,
d/ = c 2 dt 2 - (di + di + di ) .
Il s'agit là d'une généralisation à quatre dimensions de la relation de
Pythagore, mais dans laquelle l'espace et le temps se soustraient au lieu
de s'ajouter. L'espace-temps décrit par une telle « métrique », initialement
introduit par Poincaré en 1906, est appelé espace-temps de Minkowski.
Les longueurs des objets semblent alors se contracter dès que leur
vitesse relative se rapproche de la vitesse de la lumière 1 , ce qui signifie
que l'angle de rotation dans l'espace-temps s'accroît. Nous n'en avons
pas l'expérience directe, tout simplement parce nous demeurons limités,
dans notre expérience courante, à de toutes petites vitesses relatives
(même les 100 km/s atteints par un vaisseau spatial ne représentent
qu'l/3 oooe de la vitesse de la lumière). Nous sommes dans la même
situation, par rapport à l'axe des temps que par rapport à la Lune, ce
qui la faisait confondre avec un disque plat. Il y a aussi une différence
essentielle avec les rotations dans l'espace ordinaire à 3 dimensions :
bien que temps et espace se combinent en un authentique espace-temps,
ils n'ont pas pour autant le même statut dans cette combinaison. Au lieu
de s'ajouter dans la relation de Pythagore généralisée qui les unit, ils
se soustraient. Autrement dit ce sont des rotations hyperboliques au lieu
d'être des rotations sphériques (fig. 4.3 et 4.4).
1. La vitesse de la lumière dans le vide est égale à c = 299 792 458 rn/s.
4' partie : La théorie de la relativité d'échelle :formalisme mathématique
On tient là l'essence de la théorie de Poincaré et Einstein de la relativité restreinte du mouvement. Il n'y a pas un espace et un temps séparé,
mais un espace-temps à quatre dimensions, dont les trois dimensions
spatiales et la dimension temporelle ne sont que des projections.
Encadré 4.2 : Invariant relativiste (relativité restreinte)
Deux événements très proches l'un de l'autre sont séparés spatialement par
des intervalles dx, dy et dz sur trois axes orthogonaux, et par un intervalle
de temps dt, dans un repère donné. (On appelle événement l'ensemble
des quatre coordonnées spatiales et temporelle). En relativité restreinte,
ce n'est plus ni l'intervalle spatial,
dt 2 = di + di + di '
ni l'intervalle temporel
dt,
qui sont invariants dans un changement de système de coordonnées, mais
une combinaison quadri-dimensionnelle des deux,
d/ = c 2 dt 2 - (di + di + di ) .
Il s'agit là d'une généralisation à quatre dimensions de la relation de
Pythagore, mais dans laquelle l'espace et le temps se soustraient au lieu
de s'ajouter. L'espace-temps décrit par une telle « métrique », initialement
introduit par Poincaré en 1906, est appelé espace-temps de Minkowski.
Les longueurs des objets semblent alors se contracter dès que leur
vitesse relative se rapproche de la vitesse de la lumière 1 , ce qui signifie
que l'angle de rotation dans l'espace-temps s'accroît. Nous n'en avons
pas l'expérience directe, tout simplement parce nous demeurons limités,
dans notre expérience courante, à de toutes petites vitesses relatives
(même les 100 km/s atteints par un vaisseau spatial ne représentent
qu'l/3 oooe de la vitesse de la lumière). Nous sommes dans la même
situation, par rapport à l'axe des temps que par rapport à la Lune, ce
qui la faisait confondre avec un disque plat. Il y a aussi une différence
essentielle avec les rotations dans l'espace ordinaire à 3 dimensions :
bien que temps et espace se combinent en un authentique espace-temps,
ils n'ont pas pour autant le même statut dans cette combinaison. Au lieu
de s'ajouter dans la relation de Pythagore généralisée qui les unit, ils
se soustraient. Autrement dit ce sont des rotations hyperboliques au lieu
d'être des rotations sphériques (fig. 4.3 et 4.4).
1. La vitesse de la lumière dans le vide est égale à c = 299 792 458 rn/s.