1.2. Applications en sciences physiques de la théorie de la relativité d'échelle
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ou artificiels (en fait de la plupart d'entre eux) implique donc une largeur
de transition- sur laquelle la dimension fractale effective n'est plus 2
mais varie de façon continue entre 2 et 1, qui représente la non-fractalité - qui peut atteindre 502 = 2500, si bien que même sur une gamme
d'échelle de 2.5x10 5 , la dimension fractale ne vaut strictement 2 que sur
un rapport d'échelle de 100. Une telle valeur est difficile à réaliser au
laboratoire : par exemple, pour une échelle minimale spatiale de 1 cm, il
faudrait que la dépendance d'échelle de dimension 2 soit valide jusqu'à
une échelle de 1 km pour que cette condition soit réalisée. Par contre,
de telles gammes de dépendance d'échelle, peuvent se rencontrer dans
des systèmes naturels, en particulier en astrophysique.
C'est le cas tout particulièrement des disques protoplanétaires. On
est donc amené à appliquer cette méthode descriptive au mouvement
des planétésimaux dans un tel disque. L'équation fondamentale de la
dynamique qui décrit un tel mouvement peut alors se transformer en
une équation de Schrodinger généralisée (voir chap. 4), qui n'est plus
fondée sur la constante de Planck, mais sur le paramètre 2m'D qui en
tient lieu dans cette situation « macroquantique », où 'D caractérise l'amplitude des fluctuations fractales.
Dans cette équation, le potentiel dominant est le potentiel képlérien
de l'étoile centrale, du corps dont on cherche à décrire le mouvement. Quand au paramètre
'D, sa forme peut être déterminée à partir des contraintes physiques qui
s'appliquent à cette équation de Schrodinger gravitationnelle macroscopique : l.l'une est qu'il s'agit de l'intégrale d'une équation des géodésiques, ce qui implique que la masse inerte du corps dont on suit le
mouvement (égale à sa masse gravitationnelle passive) doit disparaître
de cette équation, comme conséquence du principe d'équivalence de la
relativité généralisée (du mouvement) d'Einstein; en conséquence, 'D est
indépendant de la masse m du corps, ce qui fait une différence essentielle avec la mécanique quantique standard pour laquelle au contraire
'D = n/2m; 2.l'autre est que, en tant qu'équation du mouvement dans le
champ de gravitation créé par une masse centrale M, cette masse (sous
forme de son produit par la constante de gravitation, GM), comme dans
les théories newtonienne et einsteinienne, donne l'échelle de longueur et
de temps du système : ceci est apparent, par exemple, dans la troisième
loi de Kepler qui relie demi-grands axes et périodes de l'orbite d'un
corps et qui s'écrit (a/GM)3 = (P/2rtGM) 2 ; on s'attend donc à ce que 'D
soit également proportionnel à GM. Ceci amène à l'écrire sous la forme
'D = GM/2w, où la constante w, spécifique du système ou sous-système
considéré, a la dimension d'une vitesse. En exprimant cette vitesse carac-
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ou artificiels (en fait de la plupart d'entre eux) implique donc une largeur
de transition- sur laquelle la dimension fractale effective n'est plus 2
mais varie de façon continue entre 2 et 1, qui représente la non-fractalité - qui peut atteindre 502 = 2500, si bien que même sur une gamme
d'échelle de 2.5x10 5 , la dimension fractale ne vaut strictement 2 que sur
un rapport d'échelle de 100. Une telle valeur est difficile à réaliser au
laboratoire : par exemple, pour une échelle minimale spatiale de 1 cm, il
faudrait que la dépendance d'échelle de dimension 2 soit valide jusqu'à
une échelle de 1 km pour que cette condition soit réalisée. Par contre,
de telles gammes de dépendance d'échelle, peuvent se rencontrer dans
des systèmes naturels, en particulier en astrophysique.
C'est le cas tout particulièrement des disques protoplanétaires. On
est donc amené à appliquer cette méthode descriptive au mouvement
des planétésimaux dans un tel disque. L'équation fondamentale de la
dynamique qui décrit un tel mouvement peut alors se transformer en
une équation de Schrodinger généralisée (voir chap. 4), qui n'est plus
fondée sur la constante de Planck, mais sur le paramètre 2m'D qui en
tient lieu dans cette situation « macroquantique », où 'D caractérise l'amplitude des fluctuations fractales.
Dans cette équation, le potentiel dominant est le potentiel képlérien
de l'étoile centrale, du corps dont on cherche à décrire le mouvement. Quand au paramètre
'D, sa forme peut être déterminée à partir des contraintes physiques qui
s'appliquent à cette équation de Schrodinger gravitationnelle macroscopique : l.l'une est qu'il s'agit de l'intégrale d'une équation des géodésiques, ce qui implique que la masse inerte du corps dont on suit le
mouvement (égale à sa masse gravitationnelle passive) doit disparaître
de cette équation, comme conséquence du principe d'équivalence de la
relativité généralisée (du mouvement) d'Einstein; en conséquence, 'D est
indépendant de la masse m du corps, ce qui fait une différence essentielle avec la mécanique quantique standard pour laquelle au contraire
'D = n/2m; 2.l'autre est que, en tant qu'équation du mouvement dans le
champ de gravitation créé par une masse centrale M, cette masse (sous
forme de son produit par la constante de gravitation, GM), comme dans
les théories newtonienne et einsteinienne, donne l'échelle de longueur et
de temps du système : ceci est apparent, par exemple, dans la troisième
loi de Kepler qui relie demi-grands axes et périodes de l'orbite d'un
corps et qui s'écrit (a/GM)3 = (P/2rtGM) 2 ; on s'attend donc à ce que 'D
soit également proportionnel à GM. Ceci amène à l'écrire sous la forme
'D = GM/2w, où la constante w, spécifique du système ou sous-système
considéré, a la dimension d'une vitesse. En exprimant cette vitesse carac-