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l" partie: La théorie de la relativité d'échelle ...
lieu d'une vitesse unique dépendant du temps de la représentation
déterministe usuelle), 2. fractalité de chacune de ces trajectoires potentielles, la dimension fractale étant celle du mouvement brownien (DF = 2),
3. enfin, dédoublement fondamental des vitesses, dû à l'irréversibilité
qui apparaît au niveau de la nouvelle dépendance explicite en fonction
des petits éléments temporels dt (qui ne doit pas être confondue avec
celle sur le temps t).
Dans le cas où l'on applique cette approche au problème de la fondation de la mécanique quantique en microphysique, ces trois conditions
sont parfaitement réalisées, étant déduite de la non-différentiabilité
fondamentale de l'espace-temps. Ici cette non-différentiabilité n'est qu'approximative, sachant qu'aux petites échelles de temps, on retrouve une
description déterministe. Il faut bien comprendre que les petits éléments
temporels sont ceux qui interviennent uniquement dans la description
statistique de grande échelle de temps; ils sont donc infinitésimaux par
rapport à cette échelle de temps, elle-même grande devant l'horizon de
prédictibilité tH. Mais, ils sont eux-mêmes supérieurs à (ou de l'ordre
de) cet horizon, car en dessous le système redevient déterministe et
localement prédictible : tH < dt << t.
Une condition supplémentaire doit donc être ajoutée pour obtenir
une équation de Schrëdinger comme bonne approximation du comportement du système. C'est que la dépendance d'échelle du système
soit valide sur une gamme d'échelles suffisante, autrement dit, que
la relation entre fluctuations fractales différentielles et élément différentiel temporel,= 2 'D dt, qui traduit la dimension fractale 2,
reste une bonne approximation sur de nombreuses échelles bien qu'on
sache d'emblée qu'elle n'est plus valable pour dt< tH. Sur cet intervalle
d'échelle il y a non-différentiabilité effective, comme on peut le voir à
partir des vitesses moyennes des fluctuations fractales, qui s'écrivent
= <(dVdt) 2 > = 2'D/dt, et sont donc formellement infinies quand
l'élément différentiel tend (virtuellement) vers zéro. Dans la réalité,
quand celui-ci atteint l'horizon tH et lui devient inférieur, on change de
régime et les vitesses se trouvent de ce fait limitées : ainsi cet horizon
s'identifie à une transition (dans l'espace des échelles) entre un régime
déterministe de petite échelle de temps et un régime probabiliste de
grande échelle (relative) de temps.
Cette gamme d'échelle minimale est de l'ordre de 10 4 à 10 5 , en raison
de la largeur des transitions entre régimes dépendant d'échelle et indépendant d'échelle (voir quatrième partie), qui s'étalent souvent sur un
facteur 10 à 50. L'existence d'une transition inférieure et d'une transition
supérieure, comme c'est le cas de nombreux systèmes fractals naturels
l" partie: La théorie de la relativité d'échelle ...
lieu d'une vitesse unique dépendant du temps de la représentation
déterministe usuelle), 2. fractalité de chacune de ces trajectoires potentielles, la dimension fractale étant celle du mouvement brownien (DF = 2),
3. enfin, dédoublement fondamental des vitesses, dû à l'irréversibilité
qui apparaît au niveau de la nouvelle dépendance explicite en fonction
des petits éléments temporels dt (qui ne doit pas être confondue avec
celle sur le temps t).
Dans le cas où l'on applique cette approche au problème de la fondation de la mécanique quantique en microphysique, ces trois conditions
sont parfaitement réalisées, étant déduite de la non-différentiabilité
fondamentale de l'espace-temps. Ici cette non-différentiabilité n'est qu'approximative, sachant qu'aux petites échelles de temps, on retrouve une
description déterministe. Il faut bien comprendre que les petits éléments
temporels sont ceux qui interviennent uniquement dans la description
statistique de grande échelle de temps; ils sont donc infinitésimaux par
rapport à cette échelle de temps, elle-même grande devant l'horizon de
prédictibilité tH. Mais, ils sont eux-mêmes supérieurs à (ou de l'ordre
de) cet horizon, car en dessous le système redevient déterministe et
localement prédictible : tH < dt << t.
Une condition supplémentaire doit donc être ajoutée pour obtenir
une équation de Schrëdinger comme bonne approximation du comportement du système. C'est que la dépendance d'échelle du système
soit valide sur une gamme d'échelles suffisante, autrement dit, que
la relation entre fluctuations fractales différentielles et élément différentiel temporel,
reste une bonne approximation sur de nombreuses échelles bien qu'on
sache d'emblée qu'elle n'est plus valable pour dt< tH. Sur cet intervalle
d'échelle il y a non-différentiabilité effective, comme on peut le voir à
partir des vitesses moyennes des fluctuations fractales, qui s'écrivent
l'élément différentiel tend (virtuellement) vers zéro. Dans la réalité,
quand celui-ci atteint l'horizon tH et lui devient inférieur, on change de
régime et les vitesses se trouvent de ce fait limitées : ainsi cet horizon
s'identifie à une transition (dans l'espace des échelles) entre un régime
déterministe de petite échelle de temps et un régime probabiliste de
grande échelle (relative) de temps.
Cette gamme d'échelle minimale est de l'ordre de 10 4 à 10 5 , en raison
de la largeur des transitions entre régimes dépendant d'échelle et indépendant d'échelle (voir quatrième partie), qui s'étalent souvent sur un
facteur 10 à 50. L'existence d'une transition inférieure et d'une transition
supérieure, comme c'est le cas de nombreux systèmes fractals naturels