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1" partie: La théorie de la relativité d'échelle ...
2. Dimension fractale 2 des trajectoires : cette valeur de la dimension
fractale est typique des processus markoviens où chaque déplacement
élémentaire est indépendant des précédents et des suivants, comme
dans le mouvement brownien. Des systèmes classiques chaotiques
aux échelles de temps supérieures à leur horizon de prédictibilité,
diffusifs, etc. peuvent être caractérisés par une telle dimension fractale
des trajectoires à certaines échelles.
3. Dédoublement de la vitesse: comme on l'a vu plus haut, un tel dédoublement apparaît comme conséquence de la non-différentiabilité et
de la dépendance explicite d'échelle, conditions qui peuvent être
réalisées au moins de manière approximative à certaines échelles
d'un système classique. Ceci nous amène à rajouter deux conditions
supplémentaires pour voir apparaître un régime « Schrodingerien »
dans le comportement d'un système classique :
4. La gamme d'échelle où les conditions précédentes sont réalisées
doit être suffisamment grande. Dans l'application de la théorie à la
mécanique quantique microscopique standard, la fractalité est sans
limite inférieure ni supérieure. Les déplacements élémentaires sont
décrits (voir Formalisme) comme somme d'une partie différentiable
ou « classique », dx = v dt, et d'une partie nondifférentiable fluctuante
d~ de moyenne nulle et telle que = 2 1J dt où 1J = 1i/2m, ce qui
correspond à la dimension fractale 2 de la condition (2). Dans l'application à des systèmes macroscopiques, cette relation n'est plus valable
que sur une gamme d'échelle limitée. Du fait de la largeur (en échelles)
des transitions entre régime fractal et non fractal, on estime qu'une
gamme d'échelle de 10 4 à 10 5 sur lesquelles il y a invariance d'échelle
est nécessaire. Une telle gamme d'échelles se rencontre couramment
en astrophysique, en particulier dans les conditions de formation
de structures - disques protoplanétaires, etc. - (ce qui explique le
grand nombre d'applications de la théorie dans ce domaine) ou dans
les systèmes vivants, plus difficilement au laboratoire.
5. Le dernier point est que la dynamique doit être newtonienne (une
force donne une accélération). Ceci exclut le mouvement des petites
particules browniennes dans un fluide, dont la dynamique est plutôt
« de Langevin » (une force se traduit par une vitesse), mais s'applique, là encore, particulièrement bien au mouvement chaotique des
planétésimaux dans un disque protoplanétaire.
1" partie: La théorie de la relativité d'échelle ...
2. Dimension fractale 2 des trajectoires : cette valeur de la dimension
fractale est typique des processus markoviens où chaque déplacement
élémentaire est indépendant des précédents et des suivants, comme
dans le mouvement brownien. Des systèmes classiques chaotiques
aux échelles de temps supérieures à leur horizon de prédictibilité,
diffusifs, etc. peuvent être caractérisés par une telle dimension fractale
des trajectoires à certaines échelles.
3. Dédoublement de la vitesse: comme on l'a vu plus haut, un tel dédoublement apparaît comme conséquence de la non-différentiabilité et
de la dépendance explicite d'échelle, conditions qui peuvent être
réalisées au moins de manière approximative à certaines échelles
d'un système classique. Ceci nous amène à rajouter deux conditions
supplémentaires pour voir apparaître un régime « Schrodingerien »
dans le comportement d'un système classique :
4. La gamme d'échelle où les conditions précédentes sont réalisées
doit être suffisamment grande. Dans l'application de la théorie à la
mécanique quantique microscopique standard, la fractalité est sans
limite inférieure ni supérieure. Les déplacements élémentaires sont
décrits (voir Formalisme) comme somme d'une partie différentiable
ou « classique », dx = v dt, et d'une partie nondifférentiable fluctuante
d~ de moyenne nulle et telle que
correspond à la dimension fractale 2 de la condition (2). Dans l'application à des systèmes macroscopiques, cette relation n'est plus valable
que sur une gamme d'échelle limitée. Du fait de la largeur (en échelles)
des transitions entre régime fractal et non fractal, on estime qu'une
gamme d'échelle de 10 4 à 10 5 sur lesquelles il y a invariance d'échelle
est nécessaire. Une telle gamme d'échelles se rencontre couramment
en astrophysique, en particulier dans les conditions de formation
de structures - disques protoplanétaires, etc. - (ce qui explique le
grand nombre d'applications de la théorie dans ce domaine) ou dans
les systèmes vivants, plus difficilement au laboratoire.
5. Le dernier point est que la dynamique doit être newtonienne (une
force donne une accélération). Ceci exclut le mouvement des petites
particules browniennes dans un fluide, dont la dynamique est plutôt
« de Langevin » (une force se traduit par une vitesse), mais s'applique, là encore, particulièrement bien au mouvement chaotique des
planétésimaux dans un disque protoplanétaire.