2.5. Le rôle potentiel de la relativité d'échelle dans la morphogenèse du vivant
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poissons d'un lac australien et l'équation logistique avec un taux de
croissance modéré ou de natalité « k », variant entre 0 et 4 avec un pas
de 0,02. Quand le taux est inférieur à 3, la population tend vers un état
stable final, mais lorsque le taux de démographie augmente et dépasse
le point critique de 3, le nombre d'individus par génération se met à
osciller entre 2, 4 ou 8 valeurs différentes, sautant d'une valeur à l'autre
de façon abrupte. Lorsque le taux augmente encore jusqu'à un autre
point critique, l'oscillation se scinde une nouvelle fois en donnant un
rythme d'ordre 4. Aux environs de k = 4 apparaissent des fenêtres de
stabilité sous formes de bandes verticales. Cela signifie que la population devient à nouveau prévisible et augmente pendant deux années
successives avant de diminuer au cours de la troisième. Mais si le taux
de natalité augmente légèrement par un approvisionnement suffisant
en nourriture, le chaos réapparaît.
Le diagramme des bifurcations forme un arbre ou un « figuier de
Mitchell Feigenbaum 1 »permettant de concrétiser l'évolution d'un
système simple vers le chaos par doublement de période. Au-delà d'un
point précis appelé « point d'accumulation », ou encore « point de Feigenbaum », ou ce que certains appellent encore la « porte d'entrée sur
le chaos », le système devient chaotique 2 • Le système se met à fluctuer
entre des valeurs totalement imprévisibles et devient alors extrêmement
sensible aux conditions initiales. Si on examine plus attentivement la
zone chaotique, on constate qu'il existe des zones étroites où la fonction
logistique se remet à osciller entre un nombre fini de bifurcations avant
de replonger dans le chaos. On constate que, dans cette fenêtre, il y a
des bifurcations qui ressemblent elles-mêmes au diagramme de Feigenbaum agrandi. Mais de temps en temps, le système redevient régulier
avec des cycles stables. En conclusion, un système à une dimension où
apparaît un cycle régulier de période 3, évolue temporellement selon des
cycles réguliers, de durées variables, avec des doublements de périodes
jusqu'à une limite où l'on observe l'apparition de cycles chaotiques. La
conclusion est intéressante : l'attracteur étrange de la fonction logistique est
une figure fractale.
D'autres études effectuées sur les insectes bombyx et sur les bancs
de poissons de l'Adriatique, respectivement par Briggs et Pest et Pearl
et Voltera, ont montré des phénomènes identiques.
1. Mitchell Jay Feigenbaum est un physicien théoricien américain, né en 1944, qui a découvert que la transition vers le chaos se réalise par un doublement de période, caractérisée
par deux constantes universelles appelées, les nombres de Feigenbaum.
2. Dans le diagramme de bifurcation, à l'approche de chaque région chaotique, une succession de doublements de période s'effectue en progression géométrique.
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poissons d'un lac australien et l'équation logistique avec un taux de
croissance modéré ou de natalité « k », variant entre 0 et 4 avec un pas
de 0,02. Quand le taux est inférieur à 3, la population tend vers un état
stable final, mais lorsque le taux de démographie augmente et dépasse
le point critique de 3, le nombre d'individus par génération se met à
osciller entre 2, 4 ou 8 valeurs différentes, sautant d'une valeur à l'autre
de façon abrupte. Lorsque le taux augmente encore jusqu'à un autre
point critique, l'oscillation se scinde une nouvelle fois en donnant un
rythme d'ordre 4. Aux environs de k = 4 apparaissent des fenêtres de
stabilité sous formes de bandes verticales. Cela signifie que la population devient à nouveau prévisible et augmente pendant deux années
successives avant de diminuer au cours de la troisième. Mais si le taux
de natalité augmente légèrement par un approvisionnement suffisant
en nourriture, le chaos réapparaît.
Le diagramme des bifurcations forme un arbre ou un « figuier de
Mitchell Feigenbaum 1 »permettant de concrétiser l'évolution d'un
système simple vers le chaos par doublement de période. Au-delà d'un
point précis appelé « point d'accumulation », ou encore « point de Feigenbaum », ou ce que certains appellent encore la « porte d'entrée sur
le chaos », le système devient chaotique 2 • Le système se met à fluctuer
entre des valeurs totalement imprévisibles et devient alors extrêmement
sensible aux conditions initiales. Si on examine plus attentivement la
zone chaotique, on constate qu'il existe des zones étroites où la fonction
logistique se remet à osciller entre un nombre fini de bifurcations avant
de replonger dans le chaos. On constate que, dans cette fenêtre, il y a
des bifurcations qui ressemblent elles-mêmes au diagramme de Feigenbaum agrandi. Mais de temps en temps, le système redevient régulier
avec des cycles stables. En conclusion, un système à une dimension où
apparaît un cycle régulier de période 3, évolue temporellement selon des
cycles réguliers, de durées variables, avec des doublements de périodes
jusqu'à une limite où l'on observe l'apparition de cycles chaotiques. La
conclusion est intéressante : l'attracteur étrange de la fonction logistique est
une figure fractale.
D'autres études effectuées sur les insectes bombyx et sur les bancs
de poissons de l'Adriatique, respectivement par Briggs et Pest et Pearl
et Voltera, ont montré des phénomènes identiques.
1. Mitchell Jay Feigenbaum est un physicien théoricien américain, né en 1944, qui a découvert que la transition vers le chaos se réalise par un doublement de période, caractérisée
par deux constantes universelles appelées, les nombres de Feigenbaum.
2. Dans le diagramme de bifurcation, à l'approche de chaque région chaotique, une succession de doublements de période s'effectue en progression géométrique.