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1" partie: La théorie de la relativité d'échelle ...
En analogie avec la relativité généralisée du mouvement d'Einstein,
ces trois effets sont alors combinés dans la construction d'une dérivée
covariante, qui inclut, dans l'opération de dérivation même, les effets
de la géométrie. La covariance signifie ici que, en terme de cet outil, les
équations de la physique vont pouvoir garder, dans la nouvelle géométrie, la forme qu'elles avaient auparavant. Dans le cas de covariance
forte, réalisée ici, cette forme des équations est la plus simple possible,
celle du mouvement libre dans le vide. On écrit alors l'équation des
géodésiques en fonction de cette dérivée covariante, sous forme d'une
équation du mouvement inertiel (qui exprime simplement l'annulation
de la dérivée de la vitesse).
Après un changement de variables qui définit la fonction d'onde
comme manifestation du champ de vitesse complexe des géodésiques,
cette équation s'intègre, dans le cas d'un espace fractal (sans que le
temps lui-même soit fractal), sous forme d'une équation de Schrodinger
(Nottale, 1993), l'équation fondamentale de la mécanique quantique
non relativiste. Le point essentiel de ce résultat est que l'équation de
Schrodinger se déduit donc de l'équation des géodésiques d 'un espace
fractal, dans un cadre purement géométrique.
Cette approche se généralise au cas d'un espace-temps fractal avec
l'établissement de l'équation de Klein-Gordon 1 • Ceci correspond à la
mécanique quantique relativiste, dans laquelle des retours arrières
temporels sont possibles le long des géodésiques (aux échelles de temps
plus petites que l'échelle d'Einstein-Compton 't = tz/2mc 2 ).
Puis la prise en compte d'autres effets plus subtils de la non-différentiabilité mène à la construction de spineurs et à la dérivation des
équations de Dirac et de Pauli 2 • Les postulats de Born (la densité de
probabilité est donnée par le carré du module de la fonction d'onde) et
de von Neumann (réduction du paquet d'onde) peuvent également être
établis dans ce cadre. Ce sont ainsi les principaux outils et postulats
de la mécanique quantique ainsi que ses équations fondamentales qui
sont dérivés de principes premiers dans cette théorié , alors qu'ils sont
posés comme axiomes dans la théorie quantique actuelle.
1. Nottale, 1996a.
2. Célérier et Nottale, 2004, 2006.
3. Nottale et Célérier, 2007.
1" partie: La théorie de la relativité d'échelle ...
En analogie avec la relativité généralisée du mouvement d'Einstein,
ces trois effets sont alors combinés dans la construction d'une dérivée
covariante, qui inclut, dans l'opération de dérivation même, les effets
de la géométrie. La covariance signifie ici que, en terme de cet outil, les
équations de la physique vont pouvoir garder, dans la nouvelle géométrie, la forme qu'elles avaient auparavant. Dans le cas de covariance
forte, réalisée ici, cette forme des équations est la plus simple possible,
celle du mouvement libre dans le vide. On écrit alors l'équation des
géodésiques en fonction de cette dérivée covariante, sous forme d'une
équation du mouvement inertiel (qui exprime simplement l'annulation
de la dérivée de la vitesse).
Après un changement de variables qui définit la fonction d'onde
comme manifestation du champ de vitesse complexe des géodésiques,
cette équation s'intègre, dans le cas d'un espace fractal (sans que le
temps lui-même soit fractal), sous forme d'une équation de Schrodinger
(Nottale, 1993), l'équation fondamentale de la mécanique quantique
non relativiste. Le point essentiel de ce résultat est que l'équation de
Schrodinger se déduit donc de l'équation des géodésiques d 'un espace
fractal, dans un cadre purement géométrique.
Cette approche se généralise au cas d'un espace-temps fractal avec
l'établissement de l'équation de Klein-Gordon 1 • Ceci correspond à la
mécanique quantique relativiste, dans laquelle des retours arrières
temporels sont possibles le long des géodésiques (aux échelles de temps
plus petites que l'échelle d'Einstein-Compton 't = tz/2mc 2 ).
Puis la prise en compte d'autres effets plus subtils de la non-différentiabilité mène à la construction de spineurs et à la dérivation des
équations de Dirac et de Pauli 2 • Les postulats de Born (la densité de
probabilité est donnée par le carré du module de la fonction d'onde) et
de von Neumann (réduction du paquet d'onde) peuvent également être
établis dans ce cadre. Ce sont ainsi les principaux outils et postulats
de la mécanique quantique ainsi que ses équations fondamentales qui
sont dérivés de principes premiers dans cette théorié , alors qu'ils sont
posés comme axiomes dans la théorie quantique actuelle.
1. Nottale, 1996a.
2. Célérier et Nottale, 2004, 2006.
3. Nottale et Célérier, 2007.