1.1 Présentation générale
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La non-différentiabilité implique trois conséquences principales :
1. Il existe une infinité de géodésiques là où une seule existait classiquement.
2. Chacune de ces géodésiques est une courbe fractale (c'est la dimension fractale 2 qui redonne strictement la mécanique quantique
standard, mais la théorie est généralisable à d'autres valeurs). Ces
deux propriétés impliquent une perte de déterminisme et une nonlocalité fondamentales de la description relativiste d'échelle, qui ne
sont pas posées comme en mécanique quantique standard, mais qui
se déduisent de la géométrie même. En effet, là ou classiquement
existait une vitesse bien déterminée : v(t) sur une trajectoire unique,
apparaît maintenant un champ de vitesse fractale qui remplit tout
l'espace et dépend explicitement de l'échelle : V(x, t, dt).
3. Il y a irréversibilité au niveau infinitésimal, c'est-à-dire non-invariance
dans la réflexion de l'élément différentiel temporel dt -7 -dt, si bien
que le concept de vitesse se dédouble et devient descriptible par des
nombres complexes. Un tel dédoublement est une conséquence directe
de la méthode de base introduite en relativité d'échelle consistant à
abandonner la limite dt -7 0 et donc à rendre explicite la dépendance
des grandeurs physiques en fonction de dt, et ceci même dans le cas
différentiable. Montrons le sur un exemple simple :
Considérons un mouvement accéléré décrit par x = t 2 et calculons sa
vitesse suivant la nouvelle définition des éléments différentiels comme
variables explicites. On peut le faire de deux manières, qui coïncident
du point de vue du calcul différentiel ordinaire :
V+(t, dt) = [x(t +dt)- x(t)]!dt = [(t + dtf- t 2 ]!dt = 2t +dt
V_(t, dt) = [x(t)- x(t- dt)]/dt = [t 2 - (t- dt) 2 ]!dt = 2t- dt
Ainsi, à la limite dt -7 0 ces deux vitesses coïncident évidemment
et constituent une fonction unique, mais en tant que fonctions à deux
variables t et dt, ce sont des fonctions différentes.
Plus généralement, dans le cas non différentiable, la vitesse, bien
que non définie au sens ordinaire peut être redéfinie comme fonction
fractale explicite de la résolution (fonction qui diverge quand l'intervalle
de résolution tend vers zéro, ce qui manifeste la non-différentiabilité).
Même ainsi il y a maintenant deux définitions de la vitesse au lieu
d'une V+ (x, t, dt) et V_(x, t, dt), qui se transforment l'une dans l'autre par
la réflexion dt -7 -dt.
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La non-différentiabilité implique trois conséquences principales :
1. Il existe une infinité de géodésiques là où une seule existait classiquement.
2. Chacune de ces géodésiques est une courbe fractale (c'est la dimension fractale 2 qui redonne strictement la mécanique quantique
standard, mais la théorie est généralisable à d'autres valeurs). Ces
deux propriétés impliquent une perte de déterminisme et une nonlocalité fondamentales de la description relativiste d'échelle, qui ne
sont pas posées comme en mécanique quantique standard, mais qui
se déduisent de la géométrie même. En effet, là ou classiquement
existait une vitesse bien déterminée : v(t) sur une trajectoire unique,
apparaît maintenant un champ de vitesse fractale qui remplit tout
l'espace et dépend explicitement de l'échelle : V(x, t, dt).
3. Il y a irréversibilité au niveau infinitésimal, c'est-à-dire non-invariance
dans la réflexion de l'élément différentiel temporel dt -7 -dt, si bien
que le concept de vitesse se dédouble et devient descriptible par des
nombres complexes. Un tel dédoublement est une conséquence directe
de la méthode de base introduite en relativité d'échelle consistant à
abandonner la limite dt -7 0 et donc à rendre explicite la dépendance
des grandeurs physiques en fonction de dt, et ceci même dans le cas
différentiable. Montrons le sur un exemple simple :
Considérons un mouvement accéléré décrit par x = t 2 et calculons sa
vitesse suivant la nouvelle définition des éléments différentiels comme
variables explicites. On peut le faire de deux manières, qui coïncident
du point de vue du calcul différentiel ordinaire :
V+(t, dt) = [x(t +dt)- x(t)]!dt = [(t + dtf- t 2 ]!dt = 2t +dt
V_(t, dt) = [x(t)- x(t- dt)]/dt = [t 2 - (t- dt) 2 ]!dt = 2t- dt
Ainsi, à la limite dt -7 0 ces deux vitesses coïncident évidemment
et constituent une fonction unique, mais en tant que fonctions à deux
variables t et dt, ce sont des fonctions différentes.
Plus généralement, dans le cas non différentiable, la vitesse, bien
que non définie au sens ordinaire peut être redéfinie comme fonction
fractale explicite de la résolution (fonction qui diverge quand l'intervalle
de résolution tend vers zéro, ce qui manifeste la non-différentiabilité).
Même ainsi il y a maintenant deux définitions de la vitesse au lieu
d'une V+ (x, t, dt) et V_(x, t, dt), qui se transforment l'une dans l'autre par
la réflexion dt -7 -dt.