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1"' partie: La théorie de la relativité d'échelle ...
invariance d'échelle, puis covariance d'échelle 1 qui inclue une relativité restreinte d'échelle, depuis l'autosimilarité la plus simple jusqu'à
des lois d'échelle non linéaires (« dynamique d'échelle »). On retrouve
ainsi les lois fractales ordinaires - dans lesquelles la dimension fractale est
constante- comme cas les plus simples, mais aussi des brisures de symétrie
de ces lois (mettant en œuvre des transitions entre régimes dépendant
d'échelle et indépendant d'échelle), et de nombreuses généralisations
où les dimensions fractales peuvent devenir variables.
Parmi les lois d'échelle obtenues dans ce cadre généralisé, certaines,
comme les lois log-périodiques, ont été appelées à jouer un rôle particulier
dans de nombreux domaines, de la physique à l'économie et des géosciences aux sciences de la vie. On obtient de telles lois comme solutions
d'équations différentielles d'échelle du deuxième ordre, écrites de manière
covariante: c'est l'équivalent dans l'espace des échelles d'une équation d'onde
dans l'espace ordinaire.
À un niveau plus profond encore, il faut inclure les couplages échellemouvement (dans lesquels les variables d'échelle deviennent elles-mêmes
des fonctions des coordonnées) qu'on identifie à des transformations de
jauge.
Deuxième étape : mécanique quantique
Une fois établies les lois de dépendance d'échelle interne des «points
structurés » d'un espace-temps fractal, il s'agit de construire les lois de
déplacement de ces points, donc de trouver les équations du mouvement.
La deuxième étape consiste donc à décrire les effets induits sur la
dynamique par les structures internes fractales des chemins possibles
dans un espace-temps continu non différentiable. Ces effets transforment
la mécanique classique en une mécanique de type quantique.
Pour ce faire, en analogie avec la relativité générale d'Einstein (voir
formalisme : chapitre 4), on décrit les chemins comme géodésiques de
l'espace-temps, c'est-à-dire comme les lignes les plus courtes (qui optimisent le temps propre). En fait on n'a pas à considérer que des particules
existent, qui suivraient des géodésiques et posséderaient une masse
et d'autres propriétés internes, car on peut identifier ce qu'on appelle
particule (qui est aussi champ et onde) et ses propriétés (masse, spin,
charges ... ) aux géodésiques elle-même de l'espace-temps fractal et à
certaines de leurs caractéristiques géométriques.
1. Ce qui signifie une invariance de forme des lois d'échelle.
1"' partie: La théorie de la relativité d'échelle ...
invariance d'échelle, puis covariance d'échelle 1 qui inclue une relativité restreinte d'échelle, depuis l'autosimilarité la plus simple jusqu'à
des lois d'échelle non linéaires (« dynamique d'échelle »). On retrouve
ainsi les lois fractales ordinaires - dans lesquelles la dimension fractale est
constante- comme cas les plus simples, mais aussi des brisures de symétrie
de ces lois (mettant en œuvre des transitions entre régimes dépendant
d'échelle et indépendant d'échelle), et de nombreuses généralisations
où les dimensions fractales peuvent devenir variables.
Parmi les lois d'échelle obtenues dans ce cadre généralisé, certaines,
comme les lois log-périodiques, ont été appelées à jouer un rôle particulier
dans de nombreux domaines, de la physique à l'économie et des géosciences aux sciences de la vie. On obtient de telles lois comme solutions
d'équations différentielles d'échelle du deuxième ordre, écrites de manière
covariante: c'est l'équivalent dans l'espace des échelles d'une équation d'onde
dans l'espace ordinaire.
À un niveau plus profond encore, il faut inclure les couplages échellemouvement (dans lesquels les variables d'échelle deviennent elles-mêmes
des fonctions des coordonnées) qu'on identifie à des transformations de
jauge.
Deuxième étape : mécanique quantique
Une fois établies les lois de dépendance d'échelle interne des «points
structurés » d'un espace-temps fractal, il s'agit de construire les lois de
déplacement de ces points, donc de trouver les équations du mouvement.
La deuxième étape consiste donc à décrire les effets induits sur la
dynamique par les structures internes fractales des chemins possibles
dans un espace-temps continu non différentiable. Ces effets transforment
la mécanique classique en une mécanique de type quantique.
Pour ce faire, en analogie avec la relativité générale d'Einstein (voir
formalisme : chapitre 4), on décrit les chemins comme géodésiques de
l'espace-temps, c'est-à-dire comme les lignes les plus courtes (qui optimisent le temps propre). En fait on n'a pas à considérer que des particules
existent, qui suivraient des géodésiques et posséderaient une masse
et d'autres propriétés internes, car on peut identifier ce qu'on appelle
particule (qui est aussi champ et onde) et ses propriétés (masse, spin,
charges ... ) aux géodésiques elle-même de l'espace-temps fractal et à
certaines de leurs caractéristiques géométriques.
1. Ce qui signifie une invariance de forme des lois d'échelle.