1.1 Présentation générale
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considérer que ce qui se passe à la limite du point zéro, on décrit toute
l'histoire de se qui se passe en allant vers cette limite. Si cette limite
peut être atteinte (cas de la différentiabilité), l'information sur celle-ci
sera comprise dans la nouvelle description. Si elle ne peut pas l'être (cas
nouveau de la non-différentiabilité), la description relativiste d'échelle
fonctionne alors que la description du calcul différentiel ordinaire est
mise en échec. Il s'agit donc d'une généralisation de la description qui
contient le cas précédent comme limite, et ne peut donc en aucun cas
apporter de contradiction.
Un tel cadre permet de résoudre de nombreux problèmes de la physique moderne. Il est tout à fait possible par exemple de rencontrer une
fonction qui s'écrirait :
f(x, dx) = g(x) + dx + 1/dx
Du point de vue du calcul différentiel ordinaire, le deuxième terme
disparaîtrait et le troisième serait infini, ce qui interdirait d'écrire une
telle expression. Mais ici on la considère comme une fonction explicite de
deux variables, x et dx, qui tend vers l'infini quand la deuxième variable
dx tend vers zéro, ce qui devient parfaitement légitime. De plus si l'on
considère le carré de cette fonction, on obtient :
f(x, dx) = [g 2 (x)+ 2] + 2g(x) dx + dx 2 + 2g(x)/dx + l/dx 2
On constate ainsi que la partie finie de cette expression contient
une constante supplémentaire égale à 2, qui vient du produit de deux
termes qui, du point de vue standard, aurait été considéré comme non
défini (0 fois l'infini). Autrement dit, des grandeurs physiques nouvelles
« cachées » peuvent être générées par cette nouvelle approche. C'est
effectivement le cas de propriétés fondamentales quantiques n'ayant
aucune contrepartie classique, telles que l'énergie du vide ou le spin qui
peuvent être construits de cette manière dans le cadre de la théorie de
la relativité d'échelle 1 .
Cette base de description étant établie, la première étape de construction de la théorie consiste à établir les lois de dépendance explicite
des grandeurs physiques en fonction de ces variables d'échelle, qui
satisfont au principe de relativité. En analogie avec les lois du mouvement, on considère que ces lois doivent être données par des équations
différentielles, mais qui agissent dans l'espace des échelles.
Différents niveaux de descriptions de telles lois de transformation
d'échelle sont alors physiquement possibles (voir quatrième partie) :
1. Célérier et Nottale, 2006.
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considérer que ce qui se passe à la limite du point zéro, on décrit toute
l'histoire de se qui se passe en allant vers cette limite. Si cette limite
peut être atteinte (cas de la différentiabilité), l'information sur celle-ci
sera comprise dans la nouvelle description. Si elle ne peut pas l'être (cas
nouveau de la non-différentiabilité), la description relativiste d'échelle
fonctionne alors que la description du calcul différentiel ordinaire est
mise en échec. Il s'agit donc d'une généralisation de la description qui
contient le cas précédent comme limite, et ne peut donc en aucun cas
apporter de contradiction.
Un tel cadre permet de résoudre de nombreux problèmes de la physique moderne. Il est tout à fait possible par exemple de rencontrer une
fonction qui s'écrirait :
f(x, dx) = g(x) + dx + 1/dx
Du point de vue du calcul différentiel ordinaire, le deuxième terme
disparaîtrait et le troisième serait infini, ce qui interdirait d'écrire une
telle expression. Mais ici on la considère comme une fonction explicite de
deux variables, x et dx, qui tend vers l'infini quand la deuxième variable
dx tend vers zéro, ce qui devient parfaitement légitime. De plus si l'on
considère le carré de cette fonction, on obtient :
f(x, dx) = [g 2 (x)+ 2] + 2g(x) dx + dx 2 + 2g(x)/dx + l/dx 2
On constate ainsi que la partie finie de cette expression contient
une constante supplémentaire égale à 2, qui vient du produit de deux
termes qui, du point de vue standard, aurait été considéré comme non
défini (0 fois l'infini). Autrement dit, des grandeurs physiques nouvelles
« cachées » peuvent être générées par cette nouvelle approche. C'est
effectivement le cas de propriétés fondamentales quantiques n'ayant
aucune contrepartie classique, telles que l'énergie du vide ou le spin qui
peuvent être construits de cette manière dans le cadre de la théorie de
la relativité d'échelle 1 .
Cette base de description étant établie, la première étape de construction de la théorie consiste à établir les lois de dépendance explicite
des grandeurs physiques en fonction de ces variables d'échelle, qui
satisfont au principe de relativité. En analogie avec les lois du mouvement, on considère que ces lois doivent être données par des équations
différentielles, mais qui agissent dans l'espace des échelles.
Différents niveaux de descriptions de telles lois de transformation
d'échelle sont alors physiquement possibles (voir quatrième partie) :
1. Célérier et Nottale, 2006.