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1" partie : La théorie de la relativité d'échelle ...
considérée se conduit en tendant vers cette limite, on peut décrire des
fonctions non différentiables par des équations différentielles.
En conséquence, la description physique d'un tel espace-temps
continu et non différentiable n'implique pas pour autant l'abandon des
équations différentielles, à condition que celles-ci agissent également sur
les changements de résolution. Le formalisme mathématique consiste
donc en un double calcul différentiel couplé, dans l'espace des échelles
et dans l'espace-temps « ordinaire » (des positions et instants).
Première étape de construction de la théorie :
lois de transformation d'échelle
En relativité d'échelle, les positions et les instants, considérés dans
la théorie standard comme des points parfaits sans extension, sont vus
maintenant comme structurés en échelle. Autrement dit, l'espace-temps
de ces positions et instants structurés est fractal par définition. On dénie
toute réalité physique au concept d'un instant t qui serait définissable
avec un intervalle de résolution nulle dt = 0 (c'est-à-dire à résolution
infinie). Un tel point de vue est en accord avec la mécanique quantique
elle-même à travers les relations de Heisenberg, qui implique qu'une
énergie infinie serait nécessaire pour faire une mesure de temps avec
une incertitude nulle. Il en est de même de la position, dont la définition
comme un point parfait de l'espace impliquerait la mise en œuvre d'une
impulsion infinie.
La base de la nouvelle construction physico-mathématique consiste
donc à considérer des « points » généralisés, dépendant explicitement
de l'échelle considérée. Du point de vue expérimental, cela revient à
considérer des coordonnées explicitement dépendantes de la résolution
E de l'appareil de mesure, X = X(E). Du point de vue de la description
théorique, le fondement de cette description depuis Newton et Leibniz
consite à considérer de petits éléments différentiels des variables : on
considère alors celles-ci comme des fonctions explicites de ces éléments
différentiels, x= x(dx) pour l'espace et t = t(dt) pour le temps.
La différence essentielle est que, dans le calcul différentiel ordinaire,
on fait tendre les éléments différentiels vers zéro, jusqu'à ce que cette limite
soit atteinte. Cette annulation des éléments différentiels interdit d'en faire
des variables ordinaires. En relativité d'échelle, on fait toujours tendre
ces éléments différentiels vers zéro, mais sans imposer d'aller à la limite
nulle. Ce sont des éléments finis aussi petits que l'on veut qui deviennent ainsi des variables dimensionnées (des intervalles de longueur et
de temps) caractérisant l'échelle relative. Autrement dit, au lieu de ne
1" partie : La théorie de la relativité d'échelle ...
considérée se conduit en tendant vers cette limite, on peut décrire des
fonctions non différentiables par des équations différentielles.
En conséquence, la description physique d'un tel espace-temps
continu et non différentiable n'implique pas pour autant l'abandon des
équations différentielles, à condition que celles-ci agissent également sur
les changements de résolution. Le formalisme mathématique consiste
donc en un double calcul différentiel couplé, dans l'espace des échelles
et dans l'espace-temps « ordinaire » (des positions et instants).
Première étape de construction de la théorie :
lois de transformation d'échelle
En relativité d'échelle, les positions et les instants, considérés dans
la théorie standard comme des points parfaits sans extension, sont vus
maintenant comme structurés en échelle. Autrement dit, l'espace-temps
de ces positions et instants structurés est fractal par définition. On dénie
toute réalité physique au concept d'un instant t qui serait définissable
avec un intervalle de résolution nulle dt = 0 (c'est-à-dire à résolution
infinie). Un tel point de vue est en accord avec la mécanique quantique
elle-même à travers les relations de Heisenberg, qui implique qu'une
énergie infinie serait nécessaire pour faire une mesure de temps avec
une incertitude nulle. Il en est de même de la position, dont la définition
comme un point parfait de l'espace impliquerait la mise en œuvre d'une
impulsion infinie.
La base de la nouvelle construction physico-mathématique consiste
donc à considérer des « points » généralisés, dépendant explicitement
de l'échelle considérée. Du point de vue expérimental, cela revient à
considérer des coordonnées explicitement dépendantes de la résolution
E de l'appareil de mesure, X = X(E). Du point de vue de la description
théorique, le fondement de cette description depuis Newton et Leibniz
consite à considérer de petits éléments différentiels des variables : on
considère alors celles-ci comme des fonctions explicites de ces éléments
différentiels, x= x(dx) pour l'espace et t = t(dt) pour le temps.
La différence essentielle est que, dans le calcul différentiel ordinaire,
on fait tendre les éléments différentiels vers zéro, jusqu'à ce que cette limite
soit atteinte. Cette annulation des éléments différentiels interdit d'en faire
des variables ordinaires. En relativité d'échelle, on fait toujours tendre
ces éléments différentiels vers zéro, mais sans imposer d'aller à la limite
nulle. Ce sont des éléments finis aussi petits que l'on veut qui deviennent ainsi des variables dimensionnées (des intervalles de longueur et
de temps) caractérisant l'échelle relative. Autrement dit, au lieu de ne