1.1 Présentation générale
11
ici par non-différentiabilité l'impossibilité de définir une dérivée (c'està-dire la pente d'une courbe), donc une vitesse, au sens ordinaire, et non
pas celle de différentier, qui repose sur la continuité de l'espace-temps,
propriété essentielle que l'on conserve dans cette approche.
À l'origine de cette théorie, il y a donc une généralisation de la description
du continuum espace-temps. Alors que la théorie standard suppose que
celui-ci est au moins deux fois différentiable (c'est-à-dire que l'on peut
définir des vitesses et des accélérations), on abandonne cette hypothèse,
ce qui permet de prendre en compte, en plus des espaces-temps courbes
ordinaires, des espaces-temps fractals. En effet, on peut montrer qu'un
espace continu mais non différentiable dépend explicitement de l'échelle
de résolution à laquelle on le considère (dépendance qui va jusqu'à la
divergence quand l'échelle tend vers zéro). Autrement dit, un continuum
non différentiable se caractérise par sa géométrie fractale.
Ce résultat essentiel (qui est un théorème mathématique) joue un rôle
fondamental dans la théorie, car il permet de construire un outil de description qui transcende la non-différentiabilité. Celle-ci a été envisagée
par de nombreux mathématiciens, physiciens et philosophes des sciences
comme généralisation naturelle de la description de l'espace-temps,
en particulier pour tenter de fonder la théorie quantique (Riemann,
Einstein, Feynman, Bachelard, Buhl, Finkelstein). Mais aucune de ces
tentatives n'a pu être développée, car il semblait évident qu'abandonner
la différentiabilité, c'était abandonner le calcul différentiel, alors que
toutes les équations de la physique sont, depuis Newton et Leibniz, des
équations différentielles.
Le théorème qui relie continuité et non-différentiabilité à la fractalité
(en un sens très général de divergence d'échelle) permet de dépasser cette
limitation apparente. En théorie de la relativité d'échelle, on considère
les diverses quantités physiques comme fonctions explicites de variables
d'échelle internes, intrinsèques à la description, que nous avons appelé
résolutions (plutôt qu'« incertitudes » ou « erreurs » bien qu'elles aient
un statut du même type que des barres d'erreur ou des intervalles d'incertitude). Ce choix est motivé par la signification sous-tendue par de
tels concepts: on abandonne l'idée qu'on pourrait connaître un système
avec un intervalle de résolution (spatial ou temporel, par exemple) nul,
au profit d'une conception où toute mesure ne peut être faite qu'à intervalle de résolution finie, aussi petit soit-il. Or la non-différentiabilité est
précisément une propriété qui se manifeste à la limite des intervalles
d'espace et de temps tendant vers zéro. En abandonnant l'idée qu'une
telle limite ait un sens, et en remplaçant la description de la limite (qui
définit les dérivées au sens ordinaire) par la manière dont la grandeur
11
ici par non-différentiabilité l'impossibilité de définir une dérivée (c'està-dire la pente d'une courbe), donc une vitesse, au sens ordinaire, et non
pas celle de différentier, qui repose sur la continuité de l'espace-temps,
propriété essentielle que l'on conserve dans cette approche.
À l'origine de cette théorie, il y a donc une généralisation de la description
du continuum espace-temps. Alors que la théorie standard suppose que
celui-ci est au moins deux fois différentiable (c'est-à-dire que l'on peut
définir des vitesses et des accélérations), on abandonne cette hypothèse,
ce qui permet de prendre en compte, en plus des espaces-temps courbes
ordinaires, des espaces-temps fractals. En effet, on peut montrer qu'un
espace continu mais non différentiable dépend explicitement de l'échelle
de résolution à laquelle on le considère (dépendance qui va jusqu'à la
divergence quand l'échelle tend vers zéro). Autrement dit, un continuum
non différentiable se caractérise par sa géométrie fractale.
Ce résultat essentiel (qui est un théorème mathématique) joue un rôle
fondamental dans la théorie, car il permet de construire un outil de description qui transcende la non-différentiabilité. Celle-ci a été envisagée
par de nombreux mathématiciens, physiciens et philosophes des sciences
comme généralisation naturelle de la description de l'espace-temps,
en particulier pour tenter de fonder la théorie quantique (Riemann,
Einstein, Feynman, Bachelard, Buhl, Finkelstein). Mais aucune de ces
tentatives n'a pu être développée, car il semblait évident qu'abandonner
la différentiabilité, c'était abandonner le calcul différentiel, alors que
toutes les équations de la physique sont, depuis Newton et Leibniz, des
équations différentielles.
Le théorème qui relie continuité et non-différentiabilité à la fractalité
(en un sens très général de divergence d'échelle) permet de dépasser cette
limitation apparente. En théorie de la relativité d'échelle, on considère
les diverses quantités physiques comme fonctions explicites de variables
d'échelle internes, intrinsèques à la description, que nous avons appelé
résolutions (plutôt qu'« incertitudes » ou « erreurs » bien qu'elles aient
un statut du même type que des barres d'erreur ou des intervalles d'incertitude). Ce choix est motivé par la signification sous-tendue par de
tels concepts: on abandonne l'idée qu'on pourrait connaître un système
avec un intervalle de résolution (spatial ou temporel, par exemple) nul,
au profit d'une conception où toute mesure ne peut être faite qu'à intervalle de résolution finie, aussi petit soit-il. Or la non-différentiabilité est
précisément une propriété qui se manifeste à la limite des intervalles
d'espace et de temps tendant vers zéro. En abandonnant l'idée qu'une
telle limite ait un sens, et en remplaçant la description de la limite (qui
définit les dérivées au sens ordinaire) par la manière dont la grandeur