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Physique statistique
puisque pour chaque valeur de ´ il y a
dN
d´
particules. Pour calculer la pression du gaz de
fermions, nous allons considérer le cas où celui-ci est enfermé dans une boîte cubique.
Nous verrons, dans la section 9.1.3, que le résultat obtenu est en fait indépendant du
volume choisi. Les niveaux d’énergie à une particule sont donnés par l’équation (2.22).
L’énergie d’un micro-état particulier du système à N particules, E i , est égale à la somme
de N énergies à une particule. Elle dépend du volume V du système et du nombre de
particules N. Elle peut donc s’écrire sous la forme :
E i (V, N) = C i (N)V
−2/3
(18)
puisque le terme V −2/3 est commun à tous les niveaux à une particule ´ nx,ny,nz . La pression est définie par (section 4.3) :
P =
{M}
P i
−
∂E i
∂V
=
{M}
P i
2
3
C i (N)V
−5/3 =
2
3V
{M}
P i E i
(19)
La somme porte sur l’ensemble {M} des micro-états à N particules et P i est la probabilité d’occuper le micro-état i d’énergie E i . Mais, par définition :
{M}
P i E i == E
(20)
où est l’énergie moyenne du système qui, compte tenu des fluctuations négligeables
de E autour de , sera notée E. On en déduit par conséquent l’équation suivante :
PV =
2
3
E
(21)
C’est l’équation d’état d’un gaz parfait de fermions. En fait, cette relation a été obtenue
sans faire appel à la nature particulière des particules. Elle est donc valable aussi bien
pour un gaz parfait classique que pour un gaz parfait de fermions, ou de bosons. En
remplaçant E par l’équation (17), nous pouvons exprimer P en fonction de h :
P =
4p
3
g
h 3 (2m)
3/2 (kT)
5/2 I 3/2 (h)
(22)
Le grand potentiel C, défini par l’équation (1.39), vaut :
C = −PV = −
4p
3
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
5/2 I 3/2 (h)
(23)
Le grand potentiel C est une grandeur fondamentale permettant de calculer les différentes quantités thermodynamiques. Ainsi, l’entropie totale du système est reliée à C
par l’équation (8.39) :
S = −
∂C
∂T
V,m
=
5
2
k
4p
3
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
3/2 I 3/2 (h)
+
4p
3
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
5/2 dI 3/2 (h)
dT
(24)