9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
171
La distribution de particules dont le module de l’impulsion est compris entre p et p + dp
est égale à
dN
dp
. La distribution en énergie de ces particules,
dN
d´
, est obtenue en utilisant
la relation p 2 = 2m´ :
dN
d´
=
dN
dp
dp
d´
(8)
or :
dp
d´
=
m
2´
(9)
d’où :
dN
d´
=
2pgV(2m) 3/2
h 3
√
´
exp(
´ − m
kT
) + 1
(10)
L’intégrale des distributions en impulsion (ou en énergie) par rapport à p (ou à ´) donne
le nombre total de particules contenues dans le volume V :
∞
0
dN
dp
dp =
∞
0
dN
d´
d´ = N
(11)
L’équation ci-dessus permet de déterminer le potentiel chimique m du système. Nous
avons par exemple :
∞
0
dN
d´
d´ = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2
∞
0
√
´d´
exp(
´ − m
kT
) + 1
= N
(12)
Posons
´
kT
= x et
m
kT
= h. Alors :
N = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
3/2
∞
0
x 1/2 dx
exp(x − h) + 1
(13)
Si nous introduisons les intégrales I n (h), dites de Fermi, qui sont définies par :
I n (h) =
∞
0
x n dx
exp(x − h) + 1
(14)
nous obtenons :
N = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
3/2 I 1/2 (h)
(15)
La quantité
N
V
= r est le nombre de particules par unité de volume. D’où :
r = 2p
g
h 3 (2m)
3/2 (kT)
3/2 I 1/2 (h)
(16)
Connaissant
dN
d´
, nous pouvons calculer l’énergie totale du gaz :
E =
∞
0
´
dN
d´
d´ = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
5/2 I 3/2 (h)
(17)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.