9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
173
or :
dI 3/2 (h)
dT
=
dI 3/2
dh
dh
dT
= −
m
kT 2
dI 3/2
dh
(25)
et (annexe A4) :
dI 3/2 (h)
dh
=
3
2
I 1/2 (h)
(26)
ce qui donne, en utilisant les équations (15) et (17) :
S =
5
3
E
T
−
mN
T
(27)
9.1.2 Gaz de Fermi complètement dégénéré
Un gaz de Fermi dont la température est nulle est dit complètement dégénéré. Il est intéressant d’étudier ce cas particulier car il permet de modéliser certains systèmes existant
dans la nature, comme les nucléons dans un noyau par exemple. Lorsque le système
est complètement dégénéré, son énergie totale est minimum. Les particules occupent les
niveaux à une particule les plus bas mais elles ne peuvent pas toutes se mettre sur le
niveau le plus profond à cause du principe d’exclusion de Pauli. On va donc disposer les
N particules sur les niveaux de particule individuelle en partant de l’état le plus bas et en
respectant le principe d’exclusion de Pauli. Ainsi, si le spin des particules vaut s, on peut
mettre 2s + 1 particules sur chaque niveau de particule individuelle. Le niveau d’énergie
occupé le plus haut s’appelle le niveau de Fermi et l’énergie correspondante l’énergie
de Fermi. Nous noterons cette dernière par le symbole ´ F . En terme d’occupation des
niveaux cela signifie que tous ceux qui ont une énergie ´ inférieure à ´ F sont occupés
alors que ceux pour lesquels ´ > ´ F sont vides.
Le nombre moyen de particules dans un micro-état donné pour un gaz parfait de fermions à la température T vaut (équation 8.45) :
=
1
exp(
´ i − m
kT
) + 1
(28)
il est important de noter que < n i > se rapporte à un micro-état et non à un niveau
d’énergie. En effet, même si ce dernier n’est pas dégénéré il contient 2s+1 micro-états.
Lorsque T → 0 l’expression (28) est nulle si ´ > m et elle est égale à l’unité si ´ < m.
Le potentiel chimique à température nulle est égal à l’énergie de Fermi :
m(T = 0) = ´ F
(29)
Lorsque T augmente, le potentiel chimique m d’un gaz de fermions diminue. Il s’annule
pour une température très légèrement inférieure à T F =
´ F
k
. Ceci est illustré schématiquement dans la partie gauche de la figure 9.1.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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or :
dI 3/2 (h)
dT
=
dI 3/2
dh
dh
dT
= −
m
kT 2
dI 3/2
dh
(25)
et (annexe A4) :
dI 3/2 (h)
dh
=
3
2
I 1/2 (h)
(26)
ce qui donne, en utilisant les équations (15) et (17) :
S =
5
3
E
T
−
mN
T
(27)
9.1.2 Gaz de Fermi complètement dégénéré
Un gaz de Fermi dont la température est nulle est dit complètement dégénéré. Il est intéressant d’étudier ce cas particulier car il permet de modéliser certains systèmes existant
dans la nature, comme les nucléons dans un noyau par exemple. Lorsque le système
est complètement dégénéré, son énergie totale est minimum. Les particules occupent les
niveaux à une particule les plus bas mais elles ne peuvent pas toutes se mettre sur le
niveau le plus profond à cause du principe d’exclusion de Pauli. On va donc disposer les
N particules sur les niveaux de particule individuelle en partant de l’état le plus bas et en
respectant le principe d’exclusion de Pauli. Ainsi, si le spin des particules vaut s, on peut
mettre 2s + 1 particules sur chaque niveau de particule individuelle. Le niveau d’énergie
occupé le plus haut s’appelle le niveau de Fermi et l’énergie correspondante l’énergie
de Fermi. Nous noterons cette dernière par le symbole ´ F . En terme d’occupation des
niveaux cela signifie que tous ceux qui ont une énergie ´ inférieure à ´ F sont occupés
alors que ceux pour lesquels ´ > ´ F sont vides.
Le nombre moyen de particules dans un micro-état donné pour un gaz parfait de fermions à la température T vaut (équation 8.45) :
1
exp(
´ i − m
kT
) + 1
(28)
il est important de noter que < n i > se rapporte à un micro-état et non à un niveau
d’énergie. En effet, même si ce dernier n’est pas dégénéré il contient 2s+1 micro-états.
Lorsque T → 0 l’expression (28) est nulle si ´ > m et elle est égale à l’unité si ´ < m.
Le potentiel chimique à température nulle est égal à l’énergie de Fermi :
m(T = 0) = ´ F
(29)
Lorsque T augmente, le potentiel chimique m d’un gaz de fermions diminue. Il s’annule
pour une température très légèrement inférieure à T F =
´ F
k
. Ceci est illustré schématiquement dans la partie gauche de la figure 9.1.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.