Contents
xi
8
A Model for Microstructure Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.2
Stochastic Euler Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3
The Karhunen-Loève Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4
Anisotropic Covariances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.5
The Geometric Autocorrelation Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.6
Results for the Anisotropic Double-Exponential Model . . . . . . . . . . 211
9
High-Dimension Model Representation via Sparse Grid
Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2
Mathematical Structure of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.3
Clenshaw-Curtis Grids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.4
The TASMANIAN Sparse Grids Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.5
First TASMANIAN Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.6
Results for 4D-Level 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.7
The Geometry of the 4D-Level 8 Chebyshev Sparse Grid . . . . . . . . 236
9.8
Searching the Sparse Grid for a Starting Point for Inversion . . . . . 237
9.9
A Five-Dimensional Inverse Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.10
Noisy Data and Uncertainty Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10 Characterization of Atherosclerotic Lesions by Inversion
of Eddy-Current Impedance Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.1
The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.2
Sample Impedance Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.3
The Eight-Layer Inversion Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.4
Lesion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.5
Noninvasive Detection and Characterization of
Atherosclerotic Lesions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.6
Electromagnetic Modeling of Biological Tissue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.6.1
The Lesions Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10.7
Determining Coil Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.7.1
Application to the 21.6 mm Single-Turn Loop . . . . . . . . . 269
10.8
Measuring the Frequency Response of Saline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.9
Determining the Constitutive Parameters of Saline . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.10 Comments and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.10.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Part III Quantum Effects
11 Spintronics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.2
Paramagnetic Spin Dynamics and the Spin Hamiltonian . . . . . . . . . 283
11.2.1
Application to Fe
3+
: TiO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11.2.2
Ho
++
: CaF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
11.3
Superparamagnetic Iron Oxide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
xi
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A Model for Microstructure Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.2
Stochastic Euler Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3
The Karhunen-Loève Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4
Anisotropic Covariances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.5
The Geometric Autocorrelation Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.6
Results for the Anisotropic Double-Exponential Model . . . . . . . . . . 211
9
High-Dimension Model Representation via Sparse Grid
Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2
Mathematical Structure of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.3
Clenshaw-Curtis Grids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.4
The TASMANIAN Sparse Grids Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.5
First TASMANIAN Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.6
Results for 4D-Level 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.7
The Geometry of the 4D-Level 8 Chebyshev Sparse Grid . . . . . . . . 236
9.8
Searching the Sparse Grid for a Starting Point for Inversion . . . . . 237
9.9
A Five-Dimensional Inverse Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.10
Noisy Data and Uncertainty Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10 Characterization of Atherosclerotic Lesions by Inversion
of Eddy-Current Impedance Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.1
The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.2
Sample Impedance Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.3
The Eight-Layer Inversion Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.4
Lesion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.5
Noninvasive Detection and Characterization of
Atherosclerotic Lesions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.6
Electromagnetic Modeling of Biological Tissue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.6.1
The Lesions Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10.7
Determining Coil Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.7.1
Application to the 21.6 mm Single-Turn Loop . . . . . . . . . 269
10.8
Measuring the Frequency Response of Saline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.9
Determining the Constitutive Parameters of Saline . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.10 Comments and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.10.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Part III Quantum Effects
11 Spintronics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.2
Paramagnetic Spin Dynamics and the Spin Hamiltonian . . . . . . . . . 283
11.2.1
Application to Fe
3+
: TiO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11.2.2
Ho
++
: CaF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
11.3
Superparamagnetic Iron Oxide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290