x
Contents
4
Application of the Set-Theoretic Algorithm to CFRP’s . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1
Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2
Statistical Analysis of the Feasible Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3
An Anisotropic Inverse Problem for Measuring FAWT. . . . . . . . . . . 89
4.3.1
First Set-Theoretic Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2
Second Set-Theoretic Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.3
Comment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4
Modeling Microstructure Quantification Problems . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1
Delaminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.2
Transverse Ply with Microcrack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5
Layer-Stripping for Anisotropic Flaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6
Advanced Features for Set-Theoretic Microstructure
Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6.1
A Heuristic Iterative Scheme to Determine a
Zero-Cutoff Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7
Progress in Modeling Microstructure Quantification . . . . . . . . . . . . . 116
4.8
Handling Rotations of Anisotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5
An Electromagnetic Model for Anisotropic Media: Green’s
Dyad for Plane-Layered Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1
Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3
Some Inverse Problems with Random Anisotropies . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4
Detectability of Flaws in Anisotropic Media:
Application to Ti64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6
Stochastic Inverse Problems: Models and Metrics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.1
Introducing the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2
NLSE: Nonlinear Least-Squares Parameter Estimation. . . . . . . . . . . 144
6.3
Confidence Levels: Stochastic Global Optimization . . . . . . . . . . . . . . 149
6.4
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7
Integration of Functionals, PCM and Stochastic Integral
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1
Theoretical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2
Probability Densities and Numerical Procedures. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3
Second-Order Random Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.4
A One-Dimensional Random Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.5
gPC and PCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.6
HDMR and ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.7
Determining the ANOVA Anchor Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.8
Interpolation Theory Using Splines Based Upon
Higher-Order Convolutions of the Unit Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.9
Two-Dimensional Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.10
Probability of Detection and the Chebychev Inequality . . . . . . . . . . 186
7.11
Consistency of Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Contents
4
Application of the Set-Theoretic Algorithm to CFRP’s . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1
Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2
Statistical Analysis of the Feasible Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3
An Anisotropic Inverse Problem for Measuring FAWT. . . . . . . . . . . 89
4.3.1
First Set-Theoretic Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2
Second Set-Theoretic Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.3
Comment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4
Modeling Microstructure Quantification Problems . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1
Delaminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.2
Transverse Ply with Microcrack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5
Layer-Stripping for Anisotropic Flaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6
Advanced Features for Set-Theoretic Microstructure
Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6.1
A Heuristic Iterative Scheme to Determine a
Zero-Cutoff Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7
Progress in Modeling Microstructure Quantification . . . . . . . . . . . . . 116
4.8
Handling Rotations of Anisotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5
An Electromagnetic Model for Anisotropic Media: Green’s
Dyad for Plane-Layered Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1
Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3
Some Inverse Problems with Random Anisotropies . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4
Detectability of Flaws in Anisotropic Media:
Application to Ti64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6
Stochastic Inverse Problems: Models and Metrics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.1
Introducing the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2
NLSE: Nonlinear Least-Squares Parameter Estimation. . . . . . . . . . . 144
6.3
Confidence Levels: Stochastic Global Optimization . . . . . . . . . . . . . . 149
6.4
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7
Integration of Functionals, PCM and Stochastic Integral
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1
Theoretical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2
Probability Densities and Numerical Procedures. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3
Second-Order Random Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.4
A One-Dimensional Random Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.5
gPC and PCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.6
HDMR and ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.7
Determining the ANOVA Anchor Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.8
Interpolation Theory Using Splines Based Upon
Higher-Order Convolutions of the Unit Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.9
Two-Dimensional Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.10
Probability of Detection and the Chebychev Inequality . . . . . . . . . . 186
7.11
Consistency of Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190