4.2C orde vibrante :ondes transverses 85
avec un découplage des dépendances spatialese tt emporelles. La phase f
0 est la
phase initiale de l’onde. On suppose iciq ue tous lesm orceaux de la corde vibrent
en phase. Lesconditions aux limitesspatialess’appliquent àlaseulefonction ˜
A ( x ).
En insérantcetype de solutiondans l’équationd’onde (4.8),onobtient une équation
pour l’amplitude ˜
A :
d
2 ˜
A
dx 2 +
v
2
c 2
s
˜
A = 0
dont la solutiongénéraleest
˜
A = A 1 cos( kx)+A 2 sin(kx) .
Comme on doitv érifier ˜
A (0) = 0, on trouve A 1 = 0, et la deuxièmeconditione n
x = L imposesin(kL) = 0, soit:
k = n
p
L
et v = n
p
L
c s .
Le mode n de vibrationdelacorde s’écrit donc :
y ( x , t ) = A 2 sin
n p
L
x
cos(
nc s p
L
t + f
0 ) ,
(4.13)
et on retrouvel’expression (4.12) avec A 2 = 2 y 0 et f
0 = f 0 + p / 2.
Quelle que soitlaméthode choisie, la solutioncomplètedelacorde vibranteest une
superpositionlinéaire de tous lesmodespossibles de vibration:
y ( x , t ) =
∞
n = 1
A n sin
n p x
L
cos( v n t + f n )
=
∞
n = 1
sin
n p x
L
[ a n cos( n v 0 t )+b n sin(n v 0 t ) ] .
(4.14)
Àchaque mode n correspond une pulsation v n = n p c / L .Les modes n = 1 , 2et3
sont montréssur la figure4.7.Lavaleur n correspond au nombredeventres, tandis
que lesnœuds sont au nombrede n − 1, si on exclut lesdeux pointsdefixation.
La fréquence de vibrationlaplusbasse correspond au mode n = 1. Cette fréquence
estappelée la fréquence fondamentale de la corde :
n 1 =
v 1
2 p
=
c s
2 L
.
Les modes d’ordrep lusé levé ( n > 1) ont desf réquences qui sont desm ultiples
entiers de la fréquence fondamentale:
n n
n 1
= n .
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