4.1O ndes de compression dans un solide 77
Le bilandes forces appliqué àl’élément est
m
∂
2
u
∂ t 2 = F ( x ) − F ( x + dx) ,
ce qui donne
r Sdx
∂
2
u
∂ t 2 = ES
∂ u
∂ x
x + dx
−
∂ u
∂ x
x
.
Dans cette dernière expression, la différence dans le crochete st la définitiond el a
dérivée de u par rapportàx .I ls’agitdonc de la dérivée seconde et on obtient pour
le déplacement local u une équationd’onde :
∂
2
u
∂ x 2 −
1
c 2
c
∂
2
u
∂ t 2 = 0( 4.2)
avec une vitesse de propagation
c c =
E
r
.
(4.3)
On aobtenu au chapitre 3lasolutiongénéraled’une telle équationd’onde. Dans ce
cas, la solutionest une onde monochromatique longitudinale :l’amplitude de l’onde
u et le vecteur propagationsont orientés dans la même direction x .
4.1.3 Vitesse des ondes de compression dans les solides
La vitesse de propagationdépend de la masse volumique et du moduleélastique du
matériau, deux propriétésmacroscopiques. On peut reliercette expression àlavitesse
de propagation de l’onde obtenue pour la chaîne linéaire d’oscillateurs identiques
(3.6). En effet, la vitesse est
c c = v c d x =
k
m
d x =
k d 2
x
m
=
k
d x
d 3
x
m
=
E
r
,
et on peut identifier
E =
k
d x
et r =
m
d 3
x
.
Le moduleélastique est donc relié àlaraideur des liaisons atomiques et la masse volumique macroscopique est calculée àpartir de la masse volumique microscopique, rapportentre la masse de l’atome m et le volume qu’il occupe d
3
x .Le tableau 4.1 donne
quelques valeurstypiques pour la vitesse des ondes de compression. On constateque
cette vitesse est de l’ordre de quelques kilomètrespar seconde.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Le bilandes forces appliqué àl’élément est
m
∂
2
u
∂ t 2 = F ( x ) − F ( x + dx) ,
ce qui donne
r Sdx
∂
2
u
∂ t 2 = ES
∂ u
∂ x
x + dx
−
∂ u
∂ x
x
.
Dans cette dernière expression, la différence dans le crochete st la définitiond el a
dérivée de u par rapportàx .I ls’agitdonc de la dérivée seconde et on obtient pour
le déplacement local u une équationd’onde :
∂
2
u
∂ x 2 −
1
c 2
c
∂
2
u
∂ t 2 = 0( 4.2)
avec une vitesse de propagation
c c =
E
r
.
(4.3)
On aobtenu au chapitre 3lasolutiongénéraled’une telle équationd’onde. Dans ce
cas, la solutionest une onde monochromatique longitudinale :l’amplitude de l’onde
u et le vecteur propagationsont orientés dans la même direction x .
4.1.3 Vitesse des ondes de compression dans les solides
La vitesse de propagationdépend de la masse volumique et du moduleélastique du
matériau, deux propriétésmacroscopiques. On peut reliercette expression àlavitesse
de propagation de l’onde obtenue pour la chaîne linéaire d’oscillateurs identiques
(3.6). En effet, la vitesse est
c c = v c d x =
k
m
d x =
k d 2
x
m
=
k
d x
d 3
x
m
=
E
r
,
et on peut identifier
E =
k
d x
et r =
m
d 3
x
.
Le moduleélastique est donc relié àlaraideur des liaisons atomiques et la masse volumique macroscopique est calculée àpartir de la masse volumique microscopique, rapportentre la masse de l’atome m et le volume qu’il occupe d
3
x .Le tableau 4.1 donne
quelques valeurstypiques pour la vitesse des ondes de compression. On constateque
cette vitesse est de l’ordre de quelques kilomètrespar seconde.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit