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Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
sans dimension. Toutefois, il est commode de l’exprimer en m m/m. La contrainte est
le rapporte ntre une forcee tu ne surface, son unité est donc le N · m
− 2
,é galement
appelélepascal (Pa).
4.1.2 Onde longitudinale de compression
La représentationlaplussimple d’un solideélastique est celle d’une chaîne d’atomes
reliésentre eux par une liaison élastique, modélisée par un ressort. C’est la configurationétudiée au chapitre 2. Si on déplace un atome, le déplacement va se transmettre
aux atomes voisinsvia la liaison élastique. On peut appliquer le même raisonnement
àtous lesatomesd’unsolidesetrouvantdanslemêmeplanperpendiculaire au déplacement imposé.
Comme il n’est pas possibled ed écrire individuellement le mouvement de chaque
atome, on choisitune descriptioncontinue du matériau:dans un volume élémentaire
contenantungrand nombred’atomesetdeliaisons élastiques, on définit desquantités
physiqueslocales qui s’expriment en fonction de la position et du temps.
Considérons un élément de largeur dx sur lequel on applique un biland es forces
( figure4.2). La masse de l’élément est m = r Sdx et on note u ( x )et u ( x + dx)l es
déplacementsdes deux faces de l’élément.Supposons que l’élément estcomprimé,
S
u ( x ) u ( x + dx)
x + dx
x
Figure 4.2 Onde de compression dans un barreau.
L’élémentdematériau de longueur dx compris entreles abscisses x et x + dx
est déformés ous l’effet d’unec ompressionl ocale:lesd éplacements de
ses deux faces sont notés u ( x ) et u ( x + dx) .
sous l’effet de forces F ( x )et F ( x + dx)sur ses deux faces. D’après la loideHooke
(4.1),lavariationdelongueur de l’élément est reliéeàla forcepar
u ( x ) − u ( x + dx)
dx
=
F
SE
.
On aici identifié dx = L et u ( x ) − u ( x + dx) = D L .Lemembredegauche de cette
expression est la définitiond el ad érivée de la fonction u par rapportàx ,a vecu n
signe moins. En supposant que la longueur de l’élément dx est extrêmementpetite
devant la taille macroscopique du matériau, on peut écrire
F ( x ) = − SE
∂ u
∂ x
.
Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
sans dimension. Toutefois, il est commode de l’exprimer en m m/m. La contrainte est
le rapporte ntre une forcee tu ne surface, son unité est donc le N · m
− 2
,é galement
appelélepascal (Pa).
4.1.2 Onde longitudinale de compression
La représentationlaplussimple d’un solideélastique est celle d’une chaîne d’atomes
reliésentre eux par une liaison élastique, modélisée par un ressort. C’est la configurationétudiée au chapitre 2. Si on déplace un atome, le déplacement va se transmettre
aux atomes voisinsvia la liaison élastique. On peut appliquer le même raisonnement
àtous lesatomesd’unsolidesetrouvantdanslemêmeplanperpendiculaire au déplacement imposé.
Comme il n’est pas possibled ed écrire individuellement le mouvement de chaque
atome, on choisitune descriptioncontinue du matériau:dans un volume élémentaire
contenantungrand nombred’atomesetdeliaisons élastiques, on définit desquantités
physiqueslocales qui s’expriment en fonction de la position et du temps.
Considérons un élément de largeur dx sur lequel on applique un biland es forces
( figure4.2). La masse de l’élément est m = r Sdx et on note u ( x )et u ( x + dx)l es
déplacementsdes deux faces de l’élément.Supposons que l’élément estcomprimé,
S
u ( x ) u ( x + dx)
x + dx
x
Figure 4.2 Onde de compression dans un barreau.
L’élémentdematériau de longueur dx compris entreles abscisses x et x + dx
est déformés ous l’effet d’unec ompressionl ocale:lesd éplacements de
ses deux faces sont notés u ( x ) et u ( x + dx) .
sous l’effet de forces F ( x )et F ( x + dx)sur ses deux faces. D’après la loideHooke
(4.1),lavariationdelongueur de l’élément est reliéeàla forcepar
u ( x ) − u ( x + dx)
dx
=
F
SE
.
On aici identifié dx = L et u ( x ) − u ( x + dx) = D L .Lemembredegauche de cette
expression est la définitiond el ad érivée de la fonction u par rapportàx ,a vecu n
signe moins. En supposant que la longueur de l’élément dx est extrêmementpetite
devant la taille macroscopique du matériau, on peut écrire
F ( x ) = − SE
∂ u
∂ x
.