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Chap. 2. Les oscillateurs
2.7.2 Chaîne linéairede N oscillateursidentiques
Un système mécanique étendu peut comporterungrand nombre d’oscillateurs identiques suffisamment proches lesuns des autrespour que des interactions existent.
Exemple :u nsolide monoatomique
Le cuivreest un solidem étallique composé d’une seuleespèce d’atome. Les liaisons entre atomes voisinssont donc identiques et la modélisationmécanique comporte donc des masses m reliées par des ressorts de raideur k .A vecu ne masse
atomique m Cu = 1 , 55· 10
− 25
kg et une masse volumique r Cu = 8960 kg· m
− 3
,
on peut calculer qu’un cm
3
de cuivrec ontient 8 , 5 · 10
22
atomes, soit4 4m illions
d’atomes parcentimètre linéaire.
La modélisationprécédentepeut s’étendrefacilement àunnombrearbitraire N d’oscillateursalignés. Pour chaque oscillateur,onpeutécrire une équationdemouvement,
ce qui donne un système de N équations pour les N variables de position. Pour N
oscillateurs, on peut associer N modes propres de vibration. La figure 2.15 montre
quelques modes de vibrationd’une corde plombée :lemode le plus simple(mode 1)
où tous lesplombs vibrentenphase, et le mode le plus élevé, où lesplombs voisins
sont en opposition de phase.
équ ilibre
mode 1
mode 2
mode N
Figure2.15 Modesd evibration d’unecorde plombéeconstituéed e N oscillateurs
couplés.
Uneautre configurationest une succession rectiligne de masses et de ressorts.L’équationdumouvement de la masse repérée par l’indice n est simplement
m
d
2
A n
dt 2 = k ( A n +1 − A n ) − k ( A n − A n +1 )
car elle est couplée aux deux masses voisines n − 1et n +1pardes ressorts de même
raideur k .Cette équationpeutégalement s’écrire
d
2
A n
dt 2 − v
2
c ( A n +1 − 2 A n + A n − 1 ) = 0 .
(2.41)
Chap. 2. Les oscillateurs
2.7.2 Chaîne linéairede N oscillateursidentiques
Un système mécanique étendu peut comporterungrand nombre d’oscillateurs identiques suffisamment proches lesuns des autrespour que des interactions existent.
Exemple :u nsolide monoatomique
Le cuivreest un solidem étallique composé d’une seuleespèce d’atome. Les liaisons entre atomes voisinssont donc identiques et la modélisationmécanique comporte donc des masses m reliées par des ressorts de raideur k .A vecu ne masse
atomique m Cu = 1 , 55· 10
− 25
kg et une masse volumique r Cu = 8960 kg· m
− 3
,
on peut calculer qu’un cm
3
de cuivrec ontient 8 , 5 · 10
22
atomes, soit4 4m illions
d’atomes parcentimètre linéaire.
La modélisationprécédentepeut s’étendrefacilement àunnombrearbitraire N d’oscillateursalignés. Pour chaque oscillateur,onpeutécrire une équationdemouvement,
ce qui donne un système de N équations pour les N variables de position. Pour N
oscillateurs, on peut associer N modes propres de vibration. La figure 2.15 montre
quelques modes de vibrationd’une corde plombée :lemode le plus simple(mode 1)
où tous lesplombs vibrentenphase, et le mode le plus élevé, où lesplombs voisins
sont en opposition de phase.
équ ilibre
mode 1
mode 2
mode N
Figure2.15 Modesd evibration d’unecorde plombéeconstituéed e N oscillateurs
couplés.
Uneautre configurationest une succession rectiligne de masses et de ressorts.L’équationdumouvement de la masse repérée par l’indice n est simplement
m
d
2
A n
dt 2 = k ( A n +1 − A n ) − k ( A n − A n +1 )
car elle est couplée aux deux masses voisines n − 1et n +1pardes ressorts de même
raideur k .Cette équationpeutégalement s’écrire
d
2
A n
dt 2 − v
2
c ( A n +1 − 2 A n + A n − 1 ) = 0 .
(2.41)