2.7C ouplage linéaire de N oscillateurs 39
Encart 2.9 Les cordes sympathiques
Certainsinstrumentsdemusique àcordesutilisentdes cordes qui ne sont pas
directement mises en vibrationp ar le musicien ou par un mécanisme. Ces
cordes sont mises en vibrationpar couplage avec d’autrescordes vial’air,un
procédé qui sembleavoir étéinventépar lesluthiersanglaisau XVII
e
siècle. À
l’époque baroque, on trouvaitainsi des violons d’amour,des violons munisde
12 cordes sympathiques (les12tons de la gamme) en plus des quatre cordes
traditionnelles.
En Inde, le sitar, luth traditionnel,s ’est vu ajoutéune corde sympathique au
XIX
e
siècle, corde qui contribue au timbrep articulierd ecet instrument.C es
cordesont une fonctiond’enrichissement harmonique, et le trèsl éger désaccordentre la cordesympathique et la corde actionnée produitdes battements
sonores caractéristiques.
2.7 COUPLAGE LINÉAIREDE N OSCILLATEURS
2.7.1 Chaîne linéairede N oscillateursdifférents
Les calculsp récédentsp euvent se généraliser sans difficulté àu nn ombre N d’oscillateurs couplésdeuxàdeux.Les équations du mouvementdechaque masse sont
rassemblées dans un système
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
m 1 ¨
x 1 = − k 1 x 1 + k c ( x 2 − x 1 )
m 2 ¨
x 2 = − k 2 ( x 2 − x 1 )+k 3 ( x 3 − x 2 )
. . .
m i ¨
x i
= − k i ( x i − x i − 1 )+k i +1 ( x i +1 − x i )
. . .
m N ¨
x N = − k N ( x N − x N − 1 )+k N +1 x N
(2.40)
On av uq ue lesé quations du mouvement étant linéairese nd éplacement,o np eut
mettre un telsystème d’équations sous une formematricielle.Ainsi,pour N oscillateurs, on peut composer un vecteur
X à N composantes pour les N positions x i et le
système(2.40) s’écrit sous la formematricielle
M
X = 0
où M est une matrice N × N .Comme le déterminant de la matriceest nul,onobtient
un polynôme de degré2N pour la pulsation v .Cepolynôme estpairetnecomporte
que des termes d’ordre0,2,4,... ,2N. Si mathématiquement le système a2N solutions, il n’yaque N solutions positivespour v .Ces solutions correspondent aux N
modes propres de vibrationdusystème.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Encart 2.9 Les cordes sympathiques
Certainsinstrumentsdemusique àcordesutilisentdes cordes qui ne sont pas
directement mises en vibrationp ar le musicien ou par un mécanisme. Ces
cordes sont mises en vibrationpar couplage avec d’autrescordes vial’air,un
procédé qui sembleavoir étéinventépar lesluthiersanglaisau XVII
e
siècle. À
l’époque baroque, on trouvaitainsi des violons d’amour,des violons munisde
12 cordes sympathiques (les12tons de la gamme) en plus des quatre cordes
traditionnelles.
En Inde, le sitar, luth traditionnel,s ’est vu ajoutéune corde sympathique au
XIX
e
siècle, corde qui contribue au timbrep articulierd ecet instrument.C es
cordesont une fonctiond’enrichissement harmonique, et le trèsl éger désaccordentre la cordesympathique et la corde actionnée produitdes battements
sonores caractéristiques.
2.7 COUPLAGE LINÉAIREDE N OSCILLATEURS
2.7.1 Chaîne linéairede N oscillateursdifférents
Les calculsp récédentsp euvent se généraliser sans difficulté àu nn ombre N d’oscillateurs couplésdeuxàdeux.Les équations du mouvementdechaque masse sont
rassemblées dans un système
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
m 1 ¨
x 1 = − k 1 x 1 + k c ( x 2 − x 1 )
m 2 ¨
x 2 = − k 2 ( x 2 − x 1 )+k 3 ( x 3 − x 2 )
. . .
m i ¨
x i
= − k i ( x i − x i − 1 )+k i +1 ( x i +1 − x i )
. . .
m N ¨
x N = − k N ( x N − x N − 1 )+k N +1 x N
(2.40)
On av uq ue lesé quations du mouvement étant linéairese nd éplacement,o np eut
mettre un telsystème d’équations sous une formematricielle.Ainsi,pour N oscillateurs, on peut composer un vecteur
X à N composantes pour les N positions x i et le
système(2.40) s’écrit sous la formematricielle
M
X = 0
où M est une matrice N × N .Comme le déterminant de la matriceest nul,onobtient
un polynôme de degré2N pour la pulsation v .Cepolynôme estpairetnecomporte
que des termes d’ordre0,2,4,... ,2N. Si mathématiquement le système a2N solutions, il n’yaque N solutions positivespour v .Ces solutions correspondent aux N
modes propres de vibrationdusystème.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit