Synthèse 41
En faisantlechoixd’une solutionoscillante A n = A 0 n cos v t ,onadonc un système
de N équations du type
2 v
2
c − v
2
A n − v
2
c A n +1 − v
2
c A n − 1 = 0
qui peut s’écrire sous la formed’une matrice N × N appliquée àunvecteur
A dont les
composantes sont lesamplitudes A n .Ladiagonaledelamatricecontient lestermes
en
2 v
2
c − v
2
,etchacun de ces termes est bordé de deux termes − v
2
c qui illustre le
couplage avec lesoscillateurs voisins. Toutefois il est difficile en pratique de résoudre
le problème quand N est vraiment grand.
Le chapitre suivantmontre comment on peut contourner cette difficulté,
en interprétant le deuxième termedel’équation(2.41) et en décrivant le
systèmede N oscillateurscomme un systèmecontinu.
SYNTHÈSE
Savoirs
• Un oscillateur est un systèmep hysique dont le comportement s’organise
autour d’une configurationd’équilibre stable.
• La stabilité de l’équilibre est définie paru ne forced er appelq ui ramène le
systèmeverslaconfigurationd’équilibre.
• Un oscillateur non amorti est un systèmeoscillant dont l’énergie est conservée.
• L’équationlinéaire d’un oscillateur non amorti (sansdissipationd’énergie)est
une équationd ifférentielle temporelle du second ordrea vecu ns eul coefficient v 0 :
d
2
A
dt 2 + v
2
0 A = 0 .
La pulsation v 0 est la pulsationp ropred el ’oscillateur,e te lle dépend de la
constructionphysique du système.
• L’équationlinéaire d’un oscillateur amorti est
d
2
A
dt 2 + g
dA
dt
+ v
2
0 A = 0
avec un coefficientd’amortissement g positif dans le cas d’un systèmedissipatif.
• Un oscillateur forcéadopte la pulsation du forçageaprèsunrégime transitoire.
Sonamplitude d’oscillationdépenddesapulsationpropre, de la pulsationde
forçage et du facteur d’amortissement.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
En faisantlechoixd’une solutionoscillante A n = A 0 n cos v t ,onadonc un système
de N équations du type
2 v
2
c − v
2
A n − v
2
c A n +1 − v
2
c A n − 1 = 0
qui peut s’écrire sous la formed’une matrice N × N appliquée àunvecteur
A dont les
composantes sont lesamplitudes A n .Ladiagonaledelamatricecontient lestermes
en
2 v
2
c − v
2
,etchacun de ces termes est bordé de deux termes − v
2
c qui illustre le
couplage avec lesoscillateurs voisins. Toutefois il est difficile en pratique de résoudre
le problème quand N est vraiment grand.
Le chapitre suivantmontre comment on peut contourner cette difficulté,
en interprétant le deuxième termedel’équation(2.41) et en décrivant le
systèmede N oscillateurscomme un systèmecontinu.
SYNTHÈSE
Savoirs
• Un oscillateur est un systèmep hysique dont le comportement s’organise
autour d’une configurationd’équilibre stable.
• La stabilité de l’équilibre est définie paru ne forced er appelq ui ramène le
systèmeverslaconfigurationd’équilibre.
• Un oscillateur non amorti est un systèmeoscillant dont l’énergie est conservée.
• L’équationlinéaire d’un oscillateur non amorti (sansdissipationd’énergie)est
une équationd ifférentielle temporelle du second ordrea vecu ns eul coefficient v 0 :
d
2
A
dt 2 + v
2
0 A = 0 .
La pulsation v 0 est la pulsationp ropred el ’oscillateur,e te lle dépend de la
constructionphysique du système.
• L’équationlinéaire d’un oscillateur amorti est
d
2
A
dt 2 + g
dA
dt
+ v
2
0 A = 0
avec un coefficientd’amortissement g positif dans le cas d’un systèmedissipatif.
• Un oscillateur forcéadopte la pulsation du forçageaprèsunrégime transitoire.
Sonamplitude d’oscillationdépenddesapulsationpropre, de la pulsationde
forçage et du facteur d’amortissement.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit