Corrigés
Testerses connaissances
a. b. c.
1
✗
2
✗
3
✗
Exercicesd’application
4 Le développement àl’ordre 5est
y = u −
u
3
3!
+
u
5
5!
= u −
u
3
6
+
u
5
120
,
et l’erreur relative est
y − sin u
sin u
= 0 , 45 % .
5 D’aprèslarelation(8.3),lapériode d’oscillationdevientnulle quand les hauteurs z 1 et
z 2 sont égales.Ledébitdesortie n’estplusune fonctionpériodique.
6 Pour les très petites amplitudes(A 1), le terme quadratique A
2
devient négligeable.
L’équationdeV an der Polseréduitalors à
d
2
A
dt 2 − ev 0
dA
dt
+ v
2
0 A = 0 .
Cette équation correspond àunoscillateur amorti mais avec un coefficient d’amortissement négatif, donc une croissance exponentielle de l’enveloppe de l’amplitude.
Exercicesd’approfondissement
6 Angle d’arrêt d’un pendule pesant frottant
L’anglemaximum d’arrêt du pendule u a estc elui pour lequel il yaéquilibre entre la
force de pesanteuretlaforce de friction. Comme la force de frottement esttangenteà
la trajectoire et dépend de la force normale Mg cos u ,laconditiond’arrêtest
m s Mg cos u Mg sin u ,
soit tan u m s .L ’anglemaximum d’arrêt estdonc u a = arctan( m s ).
216 Chap. 8. Ondes et vibrations nonlinéaires
Testerses connaissances
a. b. c.
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✗
2
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3
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Exercicesd’application
4 Le développement àl’ordre 5est
y = u −
u
3
3!
+
u
5
5!
= u −
u
3
6
+
u
5
120
,
et l’erreur relative est
y − sin u
sin u
= 0 , 45 % .
5 D’aprèslarelation(8.3),lapériode d’oscillationdevientnulle quand les hauteurs z 1 et
z 2 sont égales.Ledébitdesortie n’estplusune fonctionpériodique.
6 Pour les très petites amplitudes(A 1), le terme quadratique A
2
devient négligeable.
L’équationdeV an der Polseréduitalors à
d
2
A
dt 2 − ev 0
dA
dt
+ v
2
0 A = 0 .
Cette équation correspond àunoscillateur amorti mais avec un coefficient d’amortissement négatif, donc une croissance exponentielle de l’enveloppe de l’amplitude.
Exercicesd’approfondissement
6 Angle d’arrêt d’un pendule pesant frottant
L’anglemaximum d’arrêt du pendule u a estc elui pour lequel il yaéquilibre entre la
force de pesanteuretlaforce de friction. Comme la force de frottement esttangenteà
la trajectoire et dépend de la force normale Mg cos u ,laconditiond’arrêtest
m s Mg cos u Mg sin u ,
soit tan u m s .L ’anglemaximum d’arrêt estdonc u a = arctan( m s ).
216 Chap. 8. Ondes et vibrations nonlinéaires