7 Estimation de la fréquence de grincement
Si on supposeque le temps statique où le patin reste immobile esttrès grand comparé
au temps de mouvement du patin,lafréquence estl ’inverse du temps nécessairepour
allonger le ressort jusqu’à ce que la force élastique devienne égaleàla force de friction.
Si l’extrémité du ressort est tiréavecune vitesse constante U et si on supposelamasse
àune positioninitiale x = 0, la force élastique du ressort estégaleàkUt .Laforce de
frottementsolideest m Mg et le temps où ces deux forces sont égales est
t = t statique =
m Mg
kU
=
m g
v 2
0 U
,
où v 0 =
k / M estl ap ulsationp ropre du systèmem asse ressort.L af réquence de
grincement,dans cette approximation, estdonc
n =
v
2
0 U
m g
.
8 Harmonique 3d’unoscillateur forcé
a. Le terme bv
3
A
3
al ad imensiond ’une force, on ad onc [ b ] L
3
T
− 3
= L
2
MT
− 2
,
soit [ b ] = L
− 1
MT .
b. L’équationdel’amplitude A ( t )est
m
d
2
A
dt 2 = − m v
2
0 A + bv
3
0 A
3
+ ma cos v t ,
soit
d
2
A
dt 2 + v
2
0 A −
b
m
v
3
0 A
3
= a cos v t .
c. En injectantlasolution A = A L + b A 1 dans l’équationdifférentielle, on obtient
d
2
A L
dt 2 + b
d
2
A 1
dt 2 + v
2
0 A L + bv
2
0 A 1
+
b
m
v
3
0
A
3
L +3A
2
L b A 1 +3A L b
2
A
2
1 + b
3
A
3
1
= a cos v t ,
et en hiérarchisant cette équatione nf onction du paramètre non linéaire b ,o naà
l’ordre 1endéveloppement en b
d
2
A L
dt 2 + v
2
0 A L + b
d
2
A 1
dt 2 + v
2
0 A 1 −
v
3
0
m
A
3
L
= a cos v t .
La solution linéaire esto btenue en posant b = 0. Cette solutionc orrespond àu n
oscillateurharmonique forçénon amorti décrit parl’amplitude
A L ( t ) =
a
v 2
0 − v 2 cos v t .
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Corrigés 217