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Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
L’équation d’onde (4.19) devient alors une équation d’amplitude du type
∂
2
∂ x 2 +
∂
2
∂ y 2
Z ( x , y )+
v
2
c 2
m
Z ( x , y ) = 0 ,
(4.21)
et la solutiondecette équationdoitsatisfaire lesconditions de bord, c’est-à-dire une
amplitude nulle sur lesbords de la membrane. Pour allerplusloin, il faut donc choisir
une géométrie pour le cadre. Prenons le cas d’une membraner ectangulaire fermée
par deux côtés de longueurs L x et L y .Dansladirection x ,ondoitimposer Z = 0en
x = 0et x = L x .Dansladirection y ,ondoitimposer Z = 0en y = 0et y = L y .
Paranalogieaveclacorde vibrante, problème àune dimension, on peut proposer une
fonctiond’amplitude
Z ( x , y ) = Z mn sin
m p x
L x
sin
n p y
L y
,
où lesnombres m et n sont des entiers supérieursouégaux à1.Les modes de vibrationsont maintenant indicés par des couples ( m , n )eteninjectant cette solutiondans
l’équationd’amplitude (4.21),les fréquences possibles sont déterminées par
v mn = c m p
m
L x
2
+
n
L y
2
.
(4.22)
Le premier mode de vibrationc orrespond à m = 1e t n = 1. La fréquence la plus
bassed’une membrane rectangulaire est donc
n 11 =
v 11
2 p
=
c m
2 L y
1
r 2 +1=
c m
2 rL y
√
1+r 2
où r est le rapportd’aspect r = L x / L y .Les fréquences des modes d’ordreplusélevé
( m > 1ou n > 1) sont
n mn =
c m
2 rL y
√
m 2 + n 2 r 2 = n 11
m 2 + n 2 r 2
1+r 2 .
Contrairement àlacorde vibrante, lesfréquences des modes élevés ne sont pas des
multiplesdelafréquencefondamentale.Lasolution complète,superposition de tous
lesmodes,
z ( x , y , t ) =
∞
m = 1 , n = 1
Z mn sin
m p x
L x
sin
n p y
L y
cos( v mn t + f mn )( 4.23)
est déterminéepar la connaissance de la condition de forme initiale de la membrane
z ( x , y , 0) qui donne accès aux valeursde Z mn et f mn .
Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
L’équation d’onde (4.19) devient alors une équation d’amplitude du type
∂
2
∂ x 2 +
∂
2
∂ y 2
Z ( x , y )+
v
2
c 2
m
Z ( x , y ) = 0 ,
(4.21)
et la solutiondecette équationdoitsatisfaire lesconditions de bord, c’est-à-dire une
amplitude nulle sur lesbords de la membrane. Pour allerplusloin, il faut donc choisir
une géométrie pour le cadre. Prenons le cas d’une membraner ectangulaire fermée
par deux côtés de longueurs L x et L y .Dansladirection x ,ondoitimposer Z = 0en
x = 0et x = L x .Dansladirection y ,ondoitimposer Z = 0en y = 0et y = L y .
Paranalogieaveclacorde vibrante, problème àune dimension, on peut proposer une
fonctiond’amplitude
Z ( x , y ) = Z mn sin
m p x
L x
sin
n p y
L y
,
où lesnombres m et n sont des entiers supérieursouégaux à1.Les modes de vibrationsont maintenant indicés par des couples ( m , n )eteninjectant cette solutiondans
l’équationd’amplitude (4.21),les fréquences possibles sont déterminées par
v mn = c m p
m
L x
2
+
n
L y
2
.
(4.22)
Le premier mode de vibrationc orrespond à m = 1e t n = 1. La fréquence la plus
bassed’une membrane rectangulaire est donc
n 11 =
v 11
2 p
=
c m
2 L y
1
r 2 +1=
c m
2 rL y
√
1+r 2
où r est le rapportd’aspect r = L x / L y .Les fréquences des modes d’ordreplusélevé
( m > 1ou n > 1) sont
n mn =
c m
2 rL y
√
m 2 + n 2 r 2 = n 11
m 2 + n 2 r 2
1+r 2 .
Contrairement àlacorde vibrante, lesfréquences des modes élevés ne sont pas des
multiplesdelafréquencefondamentale.Lasolution complète,superposition de tous
lesmodes,
z ( x , y , t ) =
∞
m = 1 , n = 1
Z mn sin
m p x
L x
sin
n p y
L y
cos( v mn t + f mn )( 4.23)
est déterminéepar la connaissance de la condition de forme initiale de la membrane
z ( x , y , 0) qui donne accès aux valeursde Z mn et f mn .