4.3V ibrations transversales des membranes 91
En introduisant la densité surfacique r s = dm/ dS,l’équationdemouvement
s’écrit sous la formed’une équationd’onde àdeux dimensions spatiales:
∂
2
z
∂ x 2 +
∂
2
z
∂ y 2
−
r s
T L
.
∂
2
z
∂ t 2 = 0 .
(4.18)
Pour passer de l’équationd ’onde de la corde vibrante (4.8) àu ne équationd ’onde
transverse pour une membrane, il faut transposer le résultatobtenu àune dimension
dansunespace àdeux dimensions. En particulier, l’opérateur ∂
2
/∂x
2
de l’équation
de la corde est un des termes d’un opérateur laplacien qui,àdeux dimensions, est
D =
∂
2
∂ x 2 +
∂
2
∂ y 2
en coordonnées cartésiennes. La vitesse de propagationdes ondes transverses de la
corde est calculée par la tension de la corde (une force) et la masse linéique de la
corde, maisp eut aussi être exprimée en fonctiond el ac ontrainte s et de la masse
volumique du matériau. Si on suppose que la membranee st mise en tension de
manièrei sotrope (c’est-à-dire de la même façon suivant x ou y ), on a, en suivant
la définitiondelatension linéique (4.16) :
s
r
=
T L
L z
L z
r s
=
T L
r s
où r s = M / ( L x L y )e st la masse surfacique de la membrane. L’équationd ’onde
d’unemembraneest donc
D z −
1
c 2
m
∂
2
z
∂ t 2 = 0( 4.19)
où D désigne le laplacien àdeux dimensions qui peut être expriméencoordonnées
cartésiennes ou polaires, avec une vitesse de propagation
c m =
T L
r s
.
(4.20)
4.3.2 Modes de vibration d’une membrane rectangulaire
En reprenant la même méthode que pour la corde vibrante,ilest commode de choisir
une solutionsous la forme
z ( x , y , t ) = Z ( x , y )cos( v t + f ) .
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
En introduisant la densité surfacique r s = dm/ dS,l’équationdemouvement
s’écrit sous la formed’une équationd’onde àdeux dimensions spatiales:
∂
2
z
∂ x 2 +
∂
2
z
∂ y 2
−
r s
T L
.
∂
2
z
∂ t 2 = 0 .
(4.18)
Pour passer de l’équationd ’onde de la corde vibrante (4.8) àu ne équationd ’onde
transverse pour une membrane, il faut transposer le résultatobtenu àune dimension
dansunespace àdeux dimensions. En particulier, l’opérateur ∂
2
/∂x
2
de l’équation
de la corde est un des termes d’un opérateur laplacien qui,àdeux dimensions, est
D =
∂
2
∂ x 2 +
∂
2
∂ y 2
en coordonnées cartésiennes. La vitesse de propagationdes ondes transverses de la
corde est calculée par la tension de la corde (une force) et la masse linéique de la
corde, maisp eut aussi être exprimée en fonctiond el ac ontrainte s et de la masse
volumique du matériau. Si on suppose que la membranee st mise en tension de
manièrei sotrope (c’est-à-dire de la même façon suivant x ou y ), on a, en suivant
la définitiondelatension linéique (4.16) :
s
r
=
T L
L z
L z
r s
=
T L
r s
où r s = M / ( L x L y )e st la masse surfacique de la membrane. L’équationd ’onde
d’unemembraneest donc
D z −
1
c 2
m
∂
2
z
∂ t 2 = 0( 4.19)
où D désigne le laplacien àdeux dimensions qui peut être expriméencoordonnées
cartésiennes ou polaires, avec une vitesse de propagation
c m =
T L
r s
.
(4.20)
4.3.2 Modes de vibration d’une membrane rectangulaire
En reprenant la même méthode que pour la corde vibrante,ilest commode de choisir
une solutionsous la forme
z ( x , y , t ) = Z ( x , y )cos( v t + f ) .
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit