9 Bubbles, Crashes, Fat Tails and Lévy-Stable Distributions . . . . . . . 113
9.1
Historical Bubbles and Crashes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2
Bubble-Crash Mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.3
Behavioral Economics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4
Fat-Tailed Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.5
Power Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.6
Fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.7
Sums of Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.8
Lévy-Stable Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.9
Extreme-Value Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.10 Finite-Time Divergence and Log-Periodic Oscillations . . . . . . 138
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10 Quantum Finance and Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.1 Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.2 Black-Scholes Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.3 Pricing Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.4 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.5 Path Integrals in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.6 Path Integrals in Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.7 Monte-Carlo Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.8 Numerical Evaluation of Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11 Optimal Control Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.1 Macroeconomic Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.2 Control and Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.3 Hamiltonian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.4 Hamiltonians for Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.5 Donkey Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.6 Linear Quadratic Regulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.7 Controlling the Robinson-Crusoe Economy . . . . . . . . . . . . . . 189
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
12 Cryptocurrencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
12.1 Information, Probabilities, and Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.2 Relation to the Thermodynamic Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
12.3 Moving Information Through Discrete Channels . . . . . . . . . . . 199
12.4 Continuous Information Channels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Contents
ix