i
i
i
i
i
i
i
i
18 On notera algébriquement les vitesses, c’est à dire que V 1 , V 2 , V
1 , V
2 peuvent être
positives ou négatives.
1. La conservation de la quantité de mouvement de l’ensemble des deux particules dans
le référentiel du laboratoire au cours du choc s’écrit, en projection sur l’axe portant tous
les vecteurs vitesse :
m 1 V 1 1 m 2 V 2 = m 1 V
1 1 m 2 V
2
Pour pouvoir calculer les vitesses après le choc en fonction de leurs valeurs avant le choc ,
il est nécessaire d’avoir une relation supplémentaire concernant la nature du choc. De
manière générale, cette information est donnée par ce qu’on appelle le coefficient de
restitution, égal au rapport des vitesse relatives avant et après le choc (il est parfois défini
par le rapport de leurs carrés et mesure le rapport des énergies cinétiques du système avant
et après le choc) : −e(V 1 − V 2 ) = (V
1 − V
2 ). Le signe – assure e > 0, puisque les vitesses
relatives après le choc et avant le choc sont toujours opposées. Le système d’équations
décrivant le choc s’écrit : m 1 V 1 1 m 2 V 2 = m 1 V
1 1 m 2 V
2
−e(V 1 − V 2 ) = (V
1 − V
2 )
En multipliant la seconde équation par m 2 , et en l’additionnant à la première, on obtient :
V
1 =
1
m 1 1 m 2
(m 1 V 1 1 m 2 V 2 − em 2 (V 1 − V 2 ))
En multipliant de même la seconde par m 1 , et en la soustrayant à la première, on a :
V
2 =
1
m 1 1 m 2
(m 1 V 1 1 m 2 V 2 − em 1 (V 2 − V 1 ))
2. Le calcul de la variation d’énergie cinétique conduit à :
DE c =
1
2
m 1 m 2
m 1 1 m 2
(V 2 − V 1 )
2 (e
2
− 1).
Il y apparaît la masse réduite du système m =
m 1 m 2
m 1 1 m 2
et la vitesse relative des particules
V r = (V 2 − V 1 ). Donc DE c =
1
2
mV
2
r (e
2
− 1), résultat que l’on retrouve avec un calcul
dans le référentiel barycentrique.
DE C =
1
2
m 1 m 2
m 1 1 m 2
(V 2 − V 1 )
2
e
2
− 1
3. Pour un choc élastique, le coefficient de restitution vaut 1 (la normes des vitesses
relative est invariante par le choc) et DE C = 0.
Pour un choc mou, le coefficient de restitution est nul (puisque V
1 = V
2 ), donc DE C est
négative et égale à −
1
2
mV
2
r
98
i
i
i
i
i
i
i
18 On notera algébriquement les vitesses, c’est à dire que V 1 , V 2 , V
1 , V
2 peuvent être
positives ou négatives.
1. La conservation de la quantité de mouvement de l’ensemble des deux particules dans
le référentiel du laboratoire au cours du choc s’écrit, en projection sur l’axe portant tous
les vecteurs vitesse :
m 1 V 1 1 m 2 V 2 = m 1 V
1 1 m 2 V
2
Pour pouvoir calculer les vitesses après le choc en fonction de leurs valeurs avant le choc ,
il est nécessaire d’avoir une relation supplémentaire concernant la nature du choc. De
manière générale, cette information est donnée par ce qu’on appelle le coefficient de
restitution, égal au rapport des vitesse relatives avant et après le choc (il est parfois défini
par le rapport de leurs carrés et mesure le rapport des énergies cinétiques du système avant
et après le choc) : −e(V 1 − V 2 ) = (V
1 − V
2 ). Le signe – assure e > 0, puisque les vitesses
relatives après le choc et avant le choc sont toujours opposées. Le système d’équations
décrivant le choc s’écrit : m 1 V 1 1 m 2 V 2 = m 1 V
1 1 m 2 V
2
−e(V 1 − V 2 ) = (V
1 − V
2 )
En multipliant la seconde équation par m 2 , et en l’additionnant à la première, on obtient :
V
1 =
1
m 1 1 m 2
(m 1 V 1 1 m 2 V 2 − em 2 (V 1 − V 2 ))
En multipliant de même la seconde par m 1 , et en la soustrayant à la première, on a :
V
2 =
1
m 1 1 m 2
(m 1 V 1 1 m 2 V 2 − em 1 (V 2 − V 1 ))
2. Le calcul de la variation d’énergie cinétique conduit à :
DE c =
1
2
m 1 m 2
m 1 1 m 2
(V 2 − V 1 )
2 (e
2
− 1).
Il y apparaît la masse réduite du système m =
m 1 m 2
m 1 1 m 2
et la vitesse relative des particules
V r = (V 2 − V 1 ). Donc DE c =
1
2
mV
2
r (e
2
− 1), résultat que l’on retrouve avec un calcul
dans le référentiel barycentrique.
DE C =
1
2
m 1 m 2
m 1 1 m 2
(V 2 − V 1 )
2
e
2
− 1
3. Pour un choc élastique, le coefficient de restitution vaut 1 (la normes des vitesses
relative est invariante par le choc) et DE C = 0.
Pour un choc mou, le coefficient de restitution est nul (puisque V
1 = V
2 ), donc DE C est
négative et égale à −
1
2
mV
2
r
98