solutions des exercices
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i
L’intégrale se calcule aisément en développant le sinus :
1
T
T
0
sin(vt1w) cos vtdt =
cos w
1
T
T
0
sin vt cos vtdt 1 sin w
1
T
T
0
cos
2 vtdt
=
1
2
sin w
En tenant compte du fait que a = a r − ia i , on a a i = − |a| sin w et P(t) T =
1
2
va i E
2
0
c. On fait apparaître l’écart à la pulsation propre D = v − v 0 dans l’expression de la
polarisabilité :
a =
a 0 v
2
0
v
2
0 − v 2 1 iGv
=
a 0 v
2
0
−v 0 D(2 1 D/v 0 ) 1 iGv 0 (1 1 D/v 0 )
2
0
0
0
0
– /2
– /2
Δ
α
En négligeant les termes en D/v 0 devant 1
au dénominateur, on a a ≈
a 0 v 0
−2D 1 iG
, et
les parties réelle et imaginaire de la polarisabilité s’expriment alors simplement en fonction
de a 0 , v 0 , G et D : a r (D) ≈
−2a 0 v 0 D
4D 2 1 G 2 et
a i (D) ≈
a 0 v 0 G
4D 2 1 G 2 ; a r (D) est impaire en D et
a i (D) a un profil lorentzien. La figure ci-contre
montre des courbes typiques de l’évolution de
a r (D) (trait coloré) et a i (D) (trait noir) en fonction de l’écart D à la pulsation propre.
La puissance moyenne fournie par le champ à l’atome s’écrit :
P(t) T ≈
1
2
v 0 a i E
2
0 ≈ P 0
1
4D
2
G 2 1 1
, où P 0 =
a 0 v
2
0 E
2
0
2G
.
Elle a un profil lorentzien de largeur G en D, comme a i .
Lorsque l’écart à la pulsation propre est nul, c’est-à-dire que la pulsation du champ
électrique est égale à la pulsation propre de l’atome, la puissance absorbée par l ‘oscillateur
que constitue ce dernier est maximale ; rappelons que c’est ainsi que se définit la résonance
de manière générale.
On remarquera que lorsque D = ±
G
2
, la puissance absorbée par l’atome vaut la moitié de
sa valeur à la résonance, ce qui permet de définir la bande passante en puissance Dv P = G,
et le facteur de qualité Q =
v 0
Dv P
=
v 0
G
, qui est par hypothèse très grand devant 1.
1. MÉCANIQUE
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L’intégrale se calcule aisément en développant le sinus :
1
T
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0
sin(vt1w) cos vtdt =
cos w
1
T
T
0
sin vt cos vtdt 1 sin w
1
T
T
0
cos
2 vtdt
=
1
2
sin w
En tenant compte du fait que a = a r − ia i , on a a i = − |a| sin w et P(t) T =
1
2
va i E
2
0
c. On fait apparaître l’écart à la pulsation propre D = v − v 0 dans l’expression de la
polarisabilité :
a =
a 0 v
2
0
v
2
0 − v 2 1 iGv
=
a 0 v
2
0
−v 0 D(2 1 D/v 0 ) 1 iGv 0 (1 1 D/v 0 )
2
0
0
0
0
– /2
– /2
Δ
α
En négligeant les termes en D/v 0 devant 1
au dénominateur, on a a ≈
a 0 v 0
−2D 1 iG
, et
les parties réelle et imaginaire de la polarisabilité s’expriment alors simplement en fonction
de a 0 , v 0 , G et D : a r (D) ≈
−2a 0 v 0 D
4D 2 1 G 2 et
a i (D) ≈
a 0 v 0 G
4D 2 1 G 2 ; a r (D) est impaire en D et
a i (D) a un profil lorentzien. La figure ci-contre
montre des courbes typiques de l’évolution de
a r (D) (trait coloré) et a i (D) (trait noir) en fonction de l’écart D à la pulsation propre.
La puissance moyenne fournie par le champ à l’atome s’écrit :
P(t) T ≈
1
2
v 0 a i E
2
0 ≈ P 0
1
4D
2
G 2 1 1
, où P 0 =
a 0 v
2
0 E
2
0
2G
.
Elle a un profil lorentzien de largeur G en D, comme a i .
Lorsque l’écart à la pulsation propre est nul, c’est-à-dire que la pulsation du champ
électrique est égale à la pulsation propre de l’atome, la puissance absorbée par l ‘oscillateur
que constitue ce dernier est maximale ; rappelons que c’est ainsi que se définit la résonance
de manière générale.
On remarquera que lorsque D = ±
G
2
, la puissance absorbée par l’atome vaut la moitié de
sa valeur à la résonance, ce qui permet de définir la bande passante en puissance Dv P = G,
et le facteur de qualité Q =
v 0
Dv P
=
v 0
G
, qui est par hypothèse très grand devant 1.
1. MÉCANIQUE
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