solutions des exercices
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i
v 0 0,63 rad · s
−1 . Comme v
2
0 =
k
m
, il faut que m soit élevé. Dans ces conditions, le
sismographe se comporte comme un capteur d’amplitude dont la réponse fréquentielle
est voisine de celle de chacune des composantes de Fourier de la vibration sismique.
L’inconvénient est qu’il n’y a aucune amplification.
17 1. Le référentiel étant supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique
appliqué à l’électron conduit à l’équation différentielle :
d
2− → r
dt 2 1 G
d − → r
dt
1
k
m
− → r =
− →
F
m
avec v
2
0 =
k
m
2. En multipliant par q l’équation différentielle précédente avec
− →
F = q
− →
E , on obtient :
d
2− →
p
dt 2 1 G
d
− →
p
dt
1 v
2
0
− →
p =
q
2
m
− →
E
3.a. La solution particulière stationnaire de cette équation, qui correspond à ˙
− →
p =
− →
0 est
p 0 =
q
2
mv
2
0
E 0 , ce qui permet de définir la polarisabilité statique par a 0 =
q
2
mv
2
0
.
b. On cherche tout d’abord la solution générale de l’équation sans second membre ;
l’équation caractéristique associée est : x
2 1 Gx 1 v
2
0 = 0. Dans l’hypothèse où G v 0 ,
son discriminant est négatif et les solutions s’écrivent x ± =
G
2
± iv 0 en négligeant les
termes en
G
v 0
2
. La solution générale de l’équation sans second membre est donc en
notation complexe de la forme
− →
A e
− G
2
1iv 0
t 1
− →
B e
− G
2
−iv 0
t . En notation réelle, on l’écrit
e
− G
2
t
− → a cos v 0 t 1
− →
b sin v 0 t
, d’où
− →
p =
p 0 1 e
− G
2
t
− → a cos v 0 t 1
− →
b sin v 0 t
. Les
condition initiales conduisent à − → a = −
p 0 et
− →
b = −
G
2v 0
p 0 , et l’on obtient finalement :
− →
p =
p 0
1 − e
− G
2
t
cos v 0 t 1
G
2v 0
sin v 0 t
.
Le moment dipolaire atteint donc la valeur statique
p 0 selon un régime transitoire oscillatoire exponentiellement amorti de temps caractéristique t =
2
G
, de pseudo période
2p
v 0
.
4.a. On revient à la notation complexe. En régime permanent
− →
E (t) =
E 0 e
ivt , on cherche
alors
− →
p (t) =
− →
A (v)e
ivt . En reportant ˙
− →
p (t) = iv
− →
p (t) et ¨
− →
p (t) = −v
2 − →
p (t) dans l’équation différentielle, la réponse linéaire au champ électrique,
− →
p (t) = a(v)
− →
E (t), permet de
définir la polarisabilité complexe a(v) =
q
2
m
v
2
0 − v 2 1 iGv
= a 0
v
2
0
v
2
0 − v 2 1 iGv
1. MÉCANIQUE
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v 0 0,63 rad · s
−1 . Comme v
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0 =
k
m
, il faut que m soit élevé. Dans ces conditions, le
sismographe se comporte comme un capteur d’amplitude dont la réponse fréquentielle
est voisine de celle de chacune des composantes de Fourier de la vibration sismique.
L’inconvénient est qu’il n’y a aucune amplification.
17 1. Le référentiel étant supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique
appliqué à l’électron conduit à l’équation différentielle :
d
2− → r
dt 2 1 G
d − → r
dt
1
k
m
− → r =
− →
F
m
avec v
2
0 =
k
m
2. En multipliant par q l’équation différentielle précédente avec
− →
F = q
− →
E , on obtient :
d
2− →
p
dt 2 1 G
d
− →
p
dt
1 v
2
0
− →
p =
q
2
m
− →
E
3.a. La solution particulière stationnaire de cette équation, qui correspond à ˙
− →
p =
− →
0 est
p 0 =
q
2
mv
2
0
E 0 , ce qui permet de définir la polarisabilité statique par a 0 =
q
2
mv
2
0
.
b. On cherche tout d’abord la solution générale de l’équation sans second membre ;
l’équation caractéristique associée est : x
2 1 Gx 1 v
2
0 = 0. Dans l’hypothèse où G v 0 ,
son discriminant est négatif et les solutions s’écrivent x ± =
G
2
± iv 0 en négligeant les
termes en
G
v 0
2
. La solution générale de l’équation sans second membre est donc en
notation complexe de la forme
− →
A e
− G
2
1iv 0
t 1
− →
B e
− G
2
−iv 0
t . En notation réelle, on l’écrit
e
− G
2
t
− → a cos v 0 t 1
− →
b sin v 0 t
, d’où
− →
p =
p 0 1 e
− G
2
t
− → a cos v 0 t 1
− →
b sin v 0 t
. Les
condition initiales conduisent à − → a = −
p 0 et
− →
b = −
G
2v 0
p 0 , et l’on obtient finalement :
− →
p =
p 0
1 − e
− G
2
t
cos v 0 t 1
G
2v 0
sin v 0 t
.
Le moment dipolaire atteint donc la valeur statique
p 0 selon un régime transitoire oscillatoire exponentiellement amorti de temps caractéristique t =
2
G
, de pseudo période
2p
v 0
.
4.a. On revient à la notation complexe. En régime permanent
− →
E (t) =
E 0 e
ivt , on cherche
alors
− →
p (t) =
− →
A (v)e
ivt . En reportant ˙
− →
p (t) = iv
− →
p (t) et ¨
− →
p (t) = −v
2 − →
p (t) dans l’équation différentielle, la réponse linéaire au champ électrique,
− →
p (t) = a(v)
− →
E (t), permet de
définir la polarisabilité complexe a(v) =
q
2
m
v
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0 − v 2 1 iGv
= a 0
v
2
0
v
2
0 − v 2 1 iGv
1. MÉCANIQUE
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