i
i
i
i
i
i
i
i
H a ( )
0
S 0
0
– /2
–
( )
Ces courbes ont été abondamment discutées précédemment. On notera que les courbes
représentant c(v) ont un point fixe en
v 0 , −
p
2
et que le déphasage varie très vite avec
la fréquence au voisinage de v 0 si l’amortissement est faible.
6. Limite d’un oscillateur faiblement amorti v 0 t 1. À l’ordre le plus bas, v r ∼ v 0 ,
tan c(v r ) 2v 0 t et |H a (v r )| | S 0 v 0 t. L’analogie avec le cas d’un circuit RLC série
en régime sinusoïdal montre que Q = v 0 t apparaît comme l’équivalent d’un facteur de
surtension (aux bornes de L ou C). On peut définir une bande passante par les valeurs
de la pulsation telles que |H a (v)| =
|H a (v r )|
√
2
, ce qui conduit à une équation du second
degré en Y =
v 0
v
2
:
v 0
v
4
1
v 0
v
2
1
Q 2 − 2
1
1 −
2
Q 2
= 0
dont les solutions s’écrivent Y =
2Q
2
− 1 ±
1 1 4Q 2
2Q 2
. Un développement à l’ordre le
plus bas en
1
Q
conduit à Y = 1 ±
1
Q
, d’où on déduit les deux fréquences de coupure
v ± = v 0
1 ±
1
2Q
.
La largeur typique du pic vaut Dv = v 1 − v − =
v 0
Q
=
1
t
. On retrouve que la largeur
du pic est inversement proportionnelle au temps de relaxation, et que Q =
v 0
Dv
est le
facteur de qualité de l’oscillateur : plus Q est élevé, plus le pic est étroit.
7. On se place dans des conditions où la courbe de réponse ne comporte pas de pic ;
plus v 0 t se rapproche de
1
√
2
, plus la courbe est plate. On choisira donc v 0 t =
1
√
2
. Si
l’on souhaite une réponse uniforme dans la gamme de périodes des vibrations sismiques,
c’est-à-dire pour des pulsations comprises entre 0,63 rad · s
−1 et 6,3 rad · s
−1 , il faut que
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i
i
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H a ( )
0
S 0
0
– /2
–
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Ces courbes ont été abondamment discutées précédemment. On notera que les courbes
représentant c(v) ont un point fixe en
v 0 , −
p
2
et que le déphasage varie très vite avec
la fréquence au voisinage de v 0 si l’amortissement est faible.
6. Limite d’un oscillateur faiblement amorti v 0 t 1. À l’ordre le plus bas, v r ∼ v 0 ,
tan c(v r ) 2v 0 t et |H a (v r )| | S 0 v 0 t. L’analogie avec le cas d’un circuit RLC série
en régime sinusoïdal montre que Q = v 0 t apparaît comme l’équivalent d’un facteur de
surtension (aux bornes de L ou C). On peut définir une bande passante par les valeurs
de la pulsation telles que |H a (v)| =
|H a (v r )|
√
2
, ce qui conduit à une équation du second
degré en Y =
v 0
v
2
:
v 0
v
4
1
v 0
v
2
1
Q 2 − 2
1
1 −
2
Q 2
= 0
dont les solutions s’écrivent Y =
2Q
2
− 1 ±
1 1 4Q 2
2Q 2
. Un développement à l’ordre le
plus bas en
1
Q
conduit à Y = 1 ±
1
Q
, d’où on déduit les deux fréquences de coupure
v ± = v 0
1 ±
1
2Q
.
La largeur typique du pic vaut Dv = v 1 − v − =
v 0
Q
=
1
t
. On retrouve que la largeur
du pic est inversement proportionnelle au temps de relaxation, et que Q =
v 0
Dv
est le
facteur de qualité de l’oscillateur : plus Q est élevé, plus le pic est étroit.
7. On se place dans des conditions où la courbe de réponse ne comporte pas de pic ;
plus v 0 t se rapproche de
1
√
2
, plus la courbe est plate. On choisira donc v 0 t =
1
√
2
. Si
l’on souhaite une réponse uniforme dans la gamme de périodes des vibrations sismiques,
c’est-à-dire pour des pulsations comprises entre 0,63 rad · s
−1 et 6,3 rad · s
−1 , il faut que
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