solutions des exercices
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|H a (v)| présente alors un pic lorsque D(v) est minimum. Avec X =
1
v 2 , on a :
D(X ) =
v
2
0 X − 1
2 1
X
t 2
et on calcule facilement :
dD
dv
=
dD
dX
dX
dv
=
−2
v 3
2v
2
0
v
2
0 X − 1
1
1
t 2
dD
dv
= 0 ⇒ v
2
0 X = 1 −
1
2v
2
0 t 2 . Or, les seules valeurs de X qui ont un sens physique
sont réelles, ce qui impose que v 0 t >
1
√
2
. D(v) a alors un extremum pour la valeur
(positive) de la pulsation v r =
v 0
1 −
1
2v
2
0 t 2
. On peut facilement montrer qu’il s’agit
d’un minimum en calculant
d
2 D
dv 2
vr
= 8
v
4
0
v 6
r
> 0.
En conclusion, le module de l’amplitude |H a (v)| présente un pic à condition que
v 0 t >
1
√
2
, soit l <
√
2 km c’est-à-dire lorsque l’amortissement n’est pas trop important.
Ce pic s’observe pour une pulsation v r légèrement supérieure à la pulsation propre. On
retrouve que, si l’oscillateur n’est pas amorti, (dans la limite où t → ∞) ce pic est atteint
pour v r = v 0 .
En remplaçant v par v r dans les expressions du module et du déphasage, on trouve :
tan c(v r ) =
√
2
2v
2
0 t 2 − 1 et |H a (v r )| = S 0
2v
2
0 t
2
4v
2
0 t 2 − 1
b. Limite des basses fréquences : |H a (v)| ∼
v→0
S 0
v
2
v
2
0
et tan c(v) ∼
v→0
−
v
tv
2
0
. Le module de
l’amplitude est faible et la réponse en amplitude est pratiquement en phase avec la force
excitatrice, donc en opposition de phase avec le déplacement S(t) dû au tremblement de
terre.
Limite des hautes fréquences : lim
v→∞
|H a (v)| = S 0 et lim
v→∞
c(v) = −p.
La réponse est alors en opposition de phase avec la force excitatrice.
c. Les figures ci-dessous montrent l’allure des variations du module et de la phase de la
fonction de réponse en fréquence pour trois valeurs différentes de t, à v 0 fixé.
– oscillateur fortement amorti : v 0 t <
1
√
2
(trait noir).
– oscillateur peu amorti : v 0 t >
1
√
2
(trait coloré continu).
– régime intermédiaire de l’existence d’un pic : v 0 t =
1
√
2
(trait coloré pointillé).
1. MÉCANIQUE
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|H a (v)| présente alors un pic lorsque D(v) est minimum. Avec X =
1
v 2 , on a :
D(X ) =
v
2
0 X − 1
2 1
X
t 2
et on calcule facilement :
dD
dv
=
dD
dX
dX
dv
=
−2
v 3
2v
2
0
v
2
0 X − 1
1
1
t 2
dD
dv
= 0 ⇒ v
2
0 X = 1 −
1
2v
2
0 t 2 . Or, les seules valeurs de X qui ont un sens physique
sont réelles, ce qui impose que v 0 t >
1
√
2
. D(v) a alors un extremum pour la valeur
(positive) de la pulsation v r =
v 0
1 −
1
2v
2
0 t 2
. On peut facilement montrer qu’il s’agit
d’un minimum en calculant
d
2 D
dv 2
vr
= 8
v
4
0
v 6
r
> 0.
En conclusion, le module de l’amplitude |H a (v)| présente un pic à condition que
v 0 t >
1
√
2
, soit l <
√
2 km c’est-à-dire lorsque l’amortissement n’est pas trop important.
Ce pic s’observe pour une pulsation v r légèrement supérieure à la pulsation propre. On
retrouve que, si l’oscillateur n’est pas amorti, (dans la limite où t → ∞) ce pic est atteint
pour v r = v 0 .
En remplaçant v par v r dans les expressions du module et du déphasage, on trouve :
tan c(v r ) =
√
2
2v
2
0 t 2 − 1 et |H a (v r )| = S 0
2v
2
0 t
2
4v
2
0 t 2 − 1
b. Limite des basses fréquences : |H a (v)| ∼
v→0
S 0
v
2
v
2
0
et tan c(v) ∼
v→0
−
v
tv
2
0
. Le module de
l’amplitude est faible et la réponse en amplitude est pratiquement en phase avec la force
excitatrice, donc en opposition de phase avec le déplacement S(t) dû au tremblement de
terre.
Limite des hautes fréquences : lim
v→∞
|H a (v)| = S 0 et lim
v→∞
c(v) = −p.
La réponse est alors en opposition de phase avec la force excitatrice.
c. Les figures ci-dessous montrent l’allure des variations du module et de la phase de la
fonction de réponse en fréquence pour trois valeurs différentes de t, à v 0 fixé.
– oscillateur fortement amorti : v 0 t <
1
√
2
(trait noir).
– oscillateur peu amorti : v 0 t >
1
√
2
(trait coloré continu).
– régime intermédiaire de l’existence d’un pic : v 0 t =
1
√
2
(trait coloré pointillé).
1. MÉCANIQUE
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