i
i
i
i
i
i
i
i
la vitesse de la masse dans le référentiel lié au sol. La projection de cette relation sur l’axe
Oy conduit à :
−mg 1 k (h 0 − h(t)) − l ˙
h(t) 1 mv
2 S 0 e
ivt = m ¨ h(t)
En repérant la position de la masse par rapport à l’équilibre par H (t) = h(t) − h 1 et
en tenant compte de la condition d’équilibre du système, l’équation différentielle du
mouvement s’écrit :
¨
H (t) 1
l
m
˙
H (t) 1
k
m
H (t) = v
2 S 0 e
ivt
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire dans laquelle de simples considérations liées
à l’analyse dimensionnelle font apparaître de façon naturelle deux temps caractéristiques.
On vérifie que l’homogénéité de chacun des termes permet de poser
1
t
=
l
m
et v
2
0 =
k
m
.
t est le temps de relaxation lié à l’amortissement des oscillations sous l’effet de la force de
frottement fluide, c’est-à-dire le temps caractéristique au bout duquel le système oscillant
librement rejoint sa position d’équilibre stable (dans la pratique, cette position est atteinte
au bout de « quelques t »). T 0 =
2p
v 0
est la période propre de l’oscillateur, soit la période
de ses oscillations sous la seule action de la force de rappel élastique.
La linéarité de l’équation différentielle du mouvement permet d’écrire sa solution générale
comme la somme de la solution générale de l’équation sans second membre (transitoire)
et d’une solution particulière de l’équation avec second membre ; c’est cette dernière qui
définit le régime permanent sinusoïdal.
En régime permanent, l’égalité entre les deux membres de l’équation différentielle ne peut
être assurée que si H (t) est une fonction sinusoïdale de même fréquence que l’excitation.
On cherche H (t) = H a e
ivt . Il vient en reportant ˙
H (t) = ivH (t) et ¨
H (t) = −v
2 H (t)
dans l’équation différentielle :
H a = S 0
v
2
(v
2
0 − v 2 ) 1 iv/t
H a (v) = |H a (v)| e
ic(v) , où le déphasage entre la réponse en amplitude et la force excitatrice
est défini de façon pratique par sa tangente : tan c(v) =
−v/t
v
2
0 − v 2 . Il importe de remarquer
que la seule donnée de tan c(v) ne permet pas de déterminer c(v) de manière univoque ;
si l’on remarque que la partie imaginaire de H a est toujours négative, on en déduit alors
que −p c(v) 0
5. Étude de la réponse fréquentielle
|H a (v)| = S 0
v
2
(v
2
0 − v 2 ) 2 1 (v/t) 2
a. Plutôt que de calculer directement la dérivée de |H a (v)|, il est plus judicieux de poser :
|H a (v)| = S 0
1
√
D(v)
où D(v) =
(v
2
0 − v
2 )
2 1 (v/t)
2
v 4
92
i
i
i
i
i
i
i
la vitesse de la masse dans le référentiel lié au sol. La projection de cette relation sur l’axe
Oy conduit à :
−mg 1 k (h 0 − h(t)) − l ˙
h(t) 1 mv
2 S 0 e
ivt = m ¨ h(t)
En repérant la position de la masse par rapport à l’équilibre par H (t) = h(t) − h 1 et
en tenant compte de la condition d’équilibre du système, l’équation différentielle du
mouvement s’écrit :
¨
H (t) 1
l
m
˙
H (t) 1
k
m
H (t) = v
2 S 0 e
ivt
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire dans laquelle de simples considérations liées
à l’analyse dimensionnelle font apparaître de façon naturelle deux temps caractéristiques.
On vérifie que l’homogénéité de chacun des termes permet de poser
1
t
=
l
m
et v
2
0 =
k
m
.
t est le temps de relaxation lié à l’amortissement des oscillations sous l’effet de la force de
frottement fluide, c’est-à-dire le temps caractéristique au bout duquel le système oscillant
librement rejoint sa position d’équilibre stable (dans la pratique, cette position est atteinte
au bout de « quelques t »). T 0 =
2p
v 0
est la période propre de l’oscillateur, soit la période
de ses oscillations sous la seule action de la force de rappel élastique.
La linéarité de l’équation différentielle du mouvement permet d’écrire sa solution générale
comme la somme de la solution générale de l’équation sans second membre (transitoire)
et d’une solution particulière de l’équation avec second membre ; c’est cette dernière qui
définit le régime permanent sinusoïdal.
En régime permanent, l’égalité entre les deux membres de l’équation différentielle ne peut
être assurée que si H (t) est une fonction sinusoïdale de même fréquence que l’excitation.
On cherche H (t) = H a e
ivt . Il vient en reportant ˙
H (t) = ivH (t) et ¨
H (t) = −v
2 H (t)
dans l’équation différentielle :
H a = S 0
v
2
(v
2
0 − v 2 ) 1 iv/t
H a (v) = |H a (v)| e
ic(v) , où le déphasage entre la réponse en amplitude et la force excitatrice
est défini de façon pratique par sa tangente : tan c(v) =
−v/t
v
2
0 − v 2 . Il importe de remarquer
que la seule donnée de tan c(v) ne permet pas de déterminer c(v) de manière univoque ;
si l’on remarque que la partie imaginaire de H a est toujours négative, on en déduit alors
que −p c(v) 0
5. Étude de la réponse fréquentielle
|H a (v)| = S 0
v
2
(v
2
0 − v 2 ) 2 1 (v/t) 2
a. Plutôt que de calculer directement la dérivée de |H a (v)|, il est plus judicieux de poser :
|H a (v)| = S 0
1
√
D(v)
où D(v) =
(v
2
0 − v
2 )
2 1 (v/t)
2
v 4
92