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Comme e > 1, l’énergie mécanique est positive, ce qui correspond à des états libres (de
diffusion) pour un potentiel newtonien, au sens où la particule peut aller à l’infini (ici
pour u = ±b).
5. La constante des aires s’écrit :
C = r.V .
sin(
− → r ,
− →
V )
où (
− → r ,
− →
V ) désigne l’angle entre les vecteurs vitesse et position. Lorsque u → b, r → ∞,
tandis que sin(
− → r ,
− →
V ) → 0. En remarquant que r.
sin(
− → r ,
− →
V )
est la projection du
vecteur position sur la normale à l’asymptote, on obtient :
C = V 0 b.
Par ailleurs, l’énergie de la particule vaut E =
1
2
mV
2
0 lorsque r → ∞.
On réécrit alors la conservation de l’énergie en reprenant l’expression de E en fonction
de e =
1
cos b
établie dans l’exercice 12 :
E =
1
2
mV
2
0 =
k
2
2mV
2
0 b 2
1
cos 2 b
− 1
Comme
1
cos 2 b
− 1 = tan
2 b, on a tan b =
mV
2
0 b
k
(avec la convention b 0). On
remarque sur le dessin que D = p − 2b. On obtient la célèbre formule de Rutherford
donnant la déviation de la particule a :
tan
D
2
=
Zqq e
4p´ 0 mV
2
0 b
Naturellement, pour des particules d’énergie (donc de vitesse) donnée, la déviation D
augmente lorsque b diminue .
– si b → 0, on a D → p : c’est la rétrodiffusion totale ;
– si b → ∞, on a D → 0.
Il est intéressant de remarquer que la déviation est fonction d’un simple rapport d’énergies :
tan
D
2
=
Zqq e
4p´ 0 b
3
1
2 3
1
2
mV
2
0
=
Energie potentielle coulombienne à la distance b de la cible
2 3 Energie mécanique du projectile
Dire que la déviation augmente lorsque b diminue revient à dire que la particule a est
d’autant plus sensible à la présence de la cible que son énergie mécanique est petite devant
l’énergie potentielle coulombienne à la distance b.
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