solutions des exercices
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l’attraction gravitationnelle devant la répulsion coulombienne, quelle que soit la distance
entre les deux noyaux.
2. Le rapport entre les masses du noyau d’or et du noyau d’Hélium vaut environ
197
4
≈ 50.
La quantité de mouvement de la particule a est pratiquement la même dans le référentiel
barycentrique et celui du laboratoire car la masse réduite du système constitué de la
particule a et du noyau d’or est pratiquement égale à celle de la particule a (à environ
2 % près) m =
mM
m 1 M
≈ 3.92. Dans ces conditions, le recul du noyau d’or est négligeable.
3. Les propriétés générales des forces centrales permettent d’affirmer que le moment
cinétique se conserve. Le mouvement de la particule a dans le champ de forces du noyau
d’or est donc plan et r
2 ˙
u = C (exercice 9).
En utilisant l’expression de l’accélération donnée par la formule de Binet, la relation
fondamentale de la dynamique s’écrit :
d
2
1
r
du 2 1
1
r
=
−k
mC
2
équation qui s’intègre en :
1
r
=
−k
mC
2
1 A cos(u − w).
Avec les conventions de la figure de l’énoncé, l’axe polaire passe par le sommet S de
l’hyperbole, donc
dr
du
u=0
= 0, ce qui impose w = 0 ou w = p. Par ailleurs, les
asymptotes sont telles que lim u→±b
1
r
= 0. b étant compris entre 0 et
p
2
, on ne
retient que la solution w = 0. On a alors :
A =
k
mC
2 cos b
ce qui conduit à l’équation demandée :
r =
p
cos u
cos b
− 1
avec p =
mC
2
k
4. Un problème analogue a déjà été traitée dans l’exercice 12, mais dans le cas d’une interaction gravitationnelle. L’énergie mécanique de la particule dans le champ coulombien
répulsif du noyau d’or s’écrit :
E =
1
2
mV
2 1
k
r
On utilise la première formule de Binet pour exprimer la vitesse en fonction de
1
r
et de
sa dérivée par rapport à l’angle polaire. Il vient :
E =
k
2
2mC
2
e
2
− 1
1. MÉCANIQUE
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l’attraction gravitationnelle devant la répulsion coulombienne, quelle que soit la distance
entre les deux noyaux.
2. Le rapport entre les masses du noyau d’or et du noyau d’Hélium vaut environ
197
4
≈ 50.
La quantité de mouvement de la particule a est pratiquement la même dans le référentiel
barycentrique et celui du laboratoire car la masse réduite du système constitué de la
particule a et du noyau d’or est pratiquement égale à celle de la particule a (à environ
2 % près) m =
mM
m 1 M
≈ 3.92. Dans ces conditions, le recul du noyau d’or est négligeable.
3. Les propriétés générales des forces centrales permettent d’affirmer que le moment
cinétique se conserve. Le mouvement de la particule a dans le champ de forces du noyau
d’or est donc plan et r
2 ˙
u = C (exercice 9).
En utilisant l’expression de l’accélération donnée par la formule de Binet, la relation
fondamentale de la dynamique s’écrit :
d
2
1
r
du 2 1
1
r
=
−k
mC
2
équation qui s’intègre en :
1
r
=
−k
mC
2
1 A cos(u − w).
Avec les conventions de la figure de l’énoncé, l’axe polaire passe par le sommet S de
l’hyperbole, donc
dr
du
u=0
= 0, ce qui impose w = 0 ou w = p. Par ailleurs, les
asymptotes sont telles que lim u→±b
1
r
= 0. b étant compris entre 0 et
p
2
, on ne
retient que la solution w = 0. On a alors :
A =
k
mC
2 cos b
ce qui conduit à l’équation demandée :
r =
p
cos u
cos b
− 1
avec p =
mC
2
k
4. Un problème analogue a déjà été traitée dans l’exercice 12, mais dans le cas d’une interaction gravitationnelle. L’énergie mécanique de la particule dans le champ coulombien
répulsif du noyau d’or s’écrit :
E =
1
2
mV
2 1
k
r
On utilise la première formule de Binet pour exprimer la vitesse en fonction de
1
r
et de
sa dérivée par rapport à l’angle polaire. Il vient :
E =
k
2
2mC
2
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1. MÉCANIQUE
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