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contenu dans le plan équatorial, et qu’il y tourne dans le sens de rotation terrestre en
faisant un tour complet en un jour sidéral (la Terre fait un tour complet sur elle même
en un jour sidéral, soit 23h56 min). On trouve que l’altitude à laquelle un tel satellite doit
graviter est z = 36 000 km.
2. On trace R
3 en fonction de T
2 ; c’est une droite dont la pente vaut
KM J
4p 2 . D’après la
question précédente, la troisième loi de Kepler est ainsi vérifiée. On en déduit la masse
de Jupiter M J = 1,9 · 10
27 kg.
14 1. L’énergie mécanique d’un satellite de masse m en mouvement dans le champ
de gravitation à symétrie sphérique d’un astre de masse M est E =
1
2
mV
2
− m
KM
r
. Le
théorème de l’énergie cinétique s’écrit, dE C = dW (
F g ) 1 dW
− →
F
, où le travail de la
force de gravitation
F g est dW (
F g ) = −dE p . On a donc dE C = −dE P 1 dW
− →
F
,
d’où on tire
dE
dt
= P(
− →
F ) =
− →
F .
− →
V = −h(V ).V
2 . Ainsi, l’énergie mécanique du
satellite diminue sous l’effet de la force de frottement. En dérivant l’énergie par rapport
au temps, on montre facilement que cela se manifeste par des variations de la vitesse et
de la distance au centre attracteur qui obéissent à l’équation :
mV
dV
dt
1 m
KM
r 2
dr
dt
= −h(V ).V
2
Par ailleurs, l’orbite du satellite étant circulaire et
− →
F
F g
, la projection du principe
fondamental de la dynamique sur la normale à la trajectoire s’écrit m
V
2
r
= m
KM
r 2 , soit
V
2 =
KM
r
. Dans ces conditions, une variation dV de vitesse est reliée à une variation dr
de rayon par la relation 2V
dV
dt
= −
KM
r 2
dr
dt
. Il en ressort d’ores et déjà que r et
V varient en sens inverse : une diminution de r est liée à une augmentation de vitesse.
L’élimination de
dr
dt
entre ces deux équations conduit à
dV
dt
=
V .h(V )
m
> 0.
Les frottements atmosphériques provoquent une augmentation de la vitesse du satellite, ce
qui fait qu’il tombe sur l’astre puisque r diminue. Si son énergie mécanique diminue, c’est
parce que son énergie potentielle diminue plus vite que son énergie cinétique n’augmente.
15 1. Le rapport entre l’attraction gravitationnelle et la répulsion coulombienne qui
s’exercent entre un noyau de masse M, de numéro atomique Z et un noyau
4
2 He, de
masse m distants de r vaut
F G
F C
=
KmM
r 2
1
4p´ 0
2Zq
2
e
r 2
≈ 10
−36 . Cela justifie que l’on néglige
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contenu dans le plan équatorial, et qu’il y tourne dans le sens de rotation terrestre en
faisant un tour complet en un jour sidéral (la Terre fait un tour complet sur elle même
en un jour sidéral, soit 23h56 min). On trouve que l’altitude à laquelle un tel satellite doit
graviter est z = 36 000 km.
2. On trace R
3 en fonction de T
2 ; c’est une droite dont la pente vaut
KM J
4p 2 . D’après la
question précédente, la troisième loi de Kepler est ainsi vérifiée. On en déduit la masse
de Jupiter M J = 1,9 · 10
27 kg.
14 1. L’énergie mécanique d’un satellite de masse m en mouvement dans le champ
de gravitation à symétrie sphérique d’un astre de masse M est E =
1
2
mV
2
− m
KM
r
. Le
théorème de l’énergie cinétique s’écrit, dE C = dW (
F g ) 1 dW
− →
F
, où le travail de la
force de gravitation
F g est dW (
F g ) = −dE p . On a donc dE C = −dE P 1 dW
− →
F
,
d’où on tire
dE
dt
= P(
− →
F ) =
− →
F .
− →
V = −h(V ).V
2 . Ainsi, l’énergie mécanique du
satellite diminue sous l’effet de la force de frottement. En dérivant l’énergie par rapport
au temps, on montre facilement que cela se manifeste par des variations de la vitesse et
de la distance au centre attracteur qui obéissent à l’équation :
mV
dV
dt
1 m
KM
r 2
dr
dt
= −h(V ).V
2
Par ailleurs, l’orbite du satellite étant circulaire et
− →
F
F g
, la projection du principe
fondamental de la dynamique sur la normale à la trajectoire s’écrit m
V
2
r
= m
KM
r 2 , soit
V
2 =
KM
r
. Dans ces conditions, une variation dV de vitesse est reliée à une variation dr
de rayon par la relation 2V
dV
dt
= −
KM
r 2
dr
dt
. Il en ressort d’ores et déjà que r et
V varient en sens inverse : une diminution de r est liée à une augmentation de vitesse.
L’élimination de
dr
dt
entre ces deux équations conduit à
dV
dt
=
V .h(V )
m
> 0.
Les frottements atmosphériques provoquent une augmentation de la vitesse du satellite, ce
qui fait qu’il tombe sur l’astre puisque r diminue. Si son énergie mécanique diminue, c’est
parce que son énergie potentielle diminue plus vite que son énergie cinétique n’augmente.
15 1. Le rapport entre l’attraction gravitationnelle et la répulsion coulombienne qui
s’exercent entre un noyau de masse M, de numéro atomique Z et un noyau
4
2 He, de
masse m distants de r vaut
F G
F C
=
KmM
r 2
1
4p´ 0
2Zq
2
e
r 2
≈ 10
−36 . Cela justifie que l’on néglige
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