solutions des exercices
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3. La première loi de Kepler a été abondamment commentée au paragraphe précédent.
La seconde loi de Kepler, qui exprime la loi des aires est valable dans un cadre plus large
que celui des potentiels newtoniens : elle est vraie pour toute force centrale, qu’elle soit
en
1
r 2 ou non.
La troisième loi de Kepler se démontre en toute généralité en utilisant les résultats du 2.
Il est de plus nécessaire de savoir que :
– l’aire d’une ellipse est pab, où a est le demi grand-axe et b le demi petit-axe.
– une ellipse de foyers F 1 et F 2 est le lieu des points Q qui vérifient F 1 Q 1 F 2 Q = C
te
La loi des aires s’écrit : A =
C
2
t, avec le choix d’une origine des temps convenable.
T étant la période de révolution, on a pab =
C
2
T . En reprenant les notations de la figure
page précedente, et en écrivant la seconde propriété des ellipses en P, on obtient :
F 1 P 1 F 2 P = r A 1 r P = 2a.
Puisqu’elle s’écrit F 1 I 1 F 2 I = 2a, on remarque qu’au point I, on a F 1 I = F 2 I = a.
Le théorème de Pythagore conduit à JF
2
1 1 JI
2 = F 1 I
2 , soit b
2 = a
2
− JF
2
1 . Comme
JF 1 =
1
2
F 1 F 2 et que F 1 F 2 = F 1 P − F 2 P = r A − r p = 2ae, on a b
2 = a
2
− OF
2
1 . En
élevant au carré la relation exprimant la loi des aires, on obtient p
2 a
4
1 − e
2
=
C
2
4
T
2 ,
où C
2 = KMp = KMa(1 − e
2 ).
On en tire la relation : 4p
2 a
3 = KMT
2 qui exprime la troisième loi de Kepler.
13 1. D’après l’exercice précédent, on a e = 0, donc V
2 =
C
2
p 2 =
KM
a
est constant,
et le mouvement est uniforme. On retrouve très vite directement toutes les relations
concernant le satellite circulaire en remarquant que, les vecteurs de la base de Frenet
sont confondus (au sens près) avec − → u r et − → u u . La relation fondamentale de la dynamique
s’écrit mG(z) = m
V
2
(R 1 z)
. Comme on a montré à l’exercice 10 que G(z) = G 0
R
2
(R 1 z) 2
à l’extérieur d’un astre à symétrie sphérique, où G 0 est la valeur du champ de gravitation à l’altitude z = 0, on a V =
G 0 R
2
(R 1 z)
. La vitesse angulaire du satellite étant
v =
2p
T
=
V
(R 1 z)
, on peut alors écrire la troisième loi de Kepler sous la forme :
T = 2p
(R 1 z)
3/2
G 0 R 2
,
soit
(R 1 z)
3
T 2
=
G 0 R
2
4p 2
Un satellite géostationnaire est immobile dans un repère lié à la Terre. La répartition de
masse de la Terre étant supposée sphérique, le plan orbital du satellite passe par le centre
de la Terre. Un satellite ne peut donc être géostationnaire que si sa trajectoire est un cercle
1. MÉCANIQUE
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3. La première loi de Kepler a été abondamment commentée au paragraphe précédent.
La seconde loi de Kepler, qui exprime la loi des aires est valable dans un cadre plus large
que celui des potentiels newtoniens : elle est vraie pour toute force centrale, qu’elle soit
en
1
r 2 ou non.
La troisième loi de Kepler se démontre en toute généralité en utilisant les résultats du 2.
Il est de plus nécessaire de savoir que :
– l’aire d’une ellipse est pab, où a est le demi grand-axe et b le demi petit-axe.
– une ellipse de foyers F 1 et F 2 est le lieu des points Q qui vérifient F 1 Q 1 F 2 Q = C
te
La loi des aires s’écrit : A =
C
2
t, avec le choix d’une origine des temps convenable.
T étant la période de révolution, on a pab =
C
2
T . En reprenant les notations de la figure
page précedente, et en écrivant la seconde propriété des ellipses en P, on obtient :
F 1 P 1 F 2 P = r A 1 r P = 2a.
Puisqu’elle s’écrit F 1 I 1 F 2 I = 2a, on remarque qu’au point I, on a F 1 I = F 2 I = a.
Le théorème de Pythagore conduit à JF
2
1 1 JI
2 = F 1 I
2 , soit b
2 = a
2
− JF
2
1 . Comme
JF 1 =
1
2
F 1 F 2 et que F 1 F 2 = F 1 P − F 2 P = r A − r p = 2ae, on a b
2 = a
2
− OF
2
1 . En
élevant au carré la relation exprimant la loi des aires, on obtient p
2 a
4
1 − e
2
=
C
2
4
T
2 ,
où C
2 = KMp = KMa(1 − e
2 ).
On en tire la relation : 4p
2 a
3 = KMT
2 qui exprime la troisième loi de Kepler.
13 1. D’après l’exercice précédent, on a e = 0, donc V
2 =
C
2
p 2 =
KM
a
est constant,
et le mouvement est uniforme. On retrouve très vite directement toutes les relations
concernant le satellite circulaire en remarquant que, les vecteurs de la base de Frenet
sont confondus (au sens près) avec − → u r et − → u u . La relation fondamentale de la dynamique
s’écrit mG(z) = m
V
2
(R 1 z)
. Comme on a montré à l’exercice 10 que G(z) = G 0
R
2
(R 1 z) 2
à l’extérieur d’un astre à symétrie sphérique, où G 0 est la valeur du champ de gravitation à l’altitude z = 0, on a V =
G 0 R
2
(R 1 z)
. La vitesse angulaire du satellite étant
v =
2p
T
=
V
(R 1 z)
, on peut alors écrire la troisième loi de Kepler sous la forme :
T = 2p
(R 1 z)
3/2
G 0 R 2
,
soit
(R 1 z)
3
T 2
=
G 0 R
2
4p 2
Un satellite géostationnaire est immobile dans un repère lié à la Terre. La répartition de
masse de la Terre étant supposée sphérique, le plan orbital du satellite passe par le centre
de la Terre. Un satellite ne peut donc être géostationnaire que si sa trajectoire est un cercle
1. MÉCANIQUE
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