i
i
i
i
i
i
i
i
L’utilisation de la première formule de Binet permet d’exprimer la vitesse en fonction de
1
r
et de sa dérivée par rapport à l’angle polaire. L’énergie mécanique s’écrit :
E =
1
2
mV
2
− m
KM
r
=
1
2
mC
2
1
r
2
1
d
1
r
du
2
− m
KM
r
=
1
2
mC
2
(1 1 e cos u)
2
p 2
1
−
e sin u
p
2
− m
C
2
p
1 1 e cos u
p
Tous calculs faits, on a :
E =
1
2
mC
2
p 2
e
2
− 1
Il apparaît clairement que l’énergie des ellipses (et des cercles) est négative, celle des
paraboles nulle et celle des hyperboles positive.
V A
V P
A
P
2b
2a
F 2
F 1
O
J
I
x
y
2. Le cas représenté sur la figure ci-contre
correspond à 0 < e < 1. Les deux foyers
de l’ellipse sont F 1 et F 2 = O. Les distances au centre attractif à l’apogée A et
au périgée P sont obtenues respectivement
pour u = p (r A =
p
1 − e
) et u = 0
(r P =
p
1 1 e
). On conçoit bien que e procure une mesure de « l’écart au cercle » :
plus 0 < e < 1 est proche de 1, plus r A et
r P sont différents et plus l’ellipse est « aplatie ». Comme r A 1 r P = 2a, on a p = a(1 − e
2 )
et l’énergie s’écrit :
E = −
mC
2
2ap
= −m
KM
2a
.
On remarque que le seul paramètre géométrique qui intervient dans l’expression de
l’énergie est le demi grand axe a ; on note par ailleurs que l’énergie mécanique d’une
particule en mouvement sur une ellipse de demi grand axe a est la même que l’énergie
potentielle d’une particule qui se trouverait à la distance 2a du centre attractif.
Puisque la composante radiale du vecteur vitesse est nulle en A et en P, l’égalité des
moments cinétiques en ces deux points s’écrit V A r A = V P r P . On utilise alors l’expression
de la vitesse en fonction de u donnée en tout point par la première formule de Binet pour
exprimer V A r A = V P r P et V A r A = V P r P en fonction des paramètres géométriques de
l’ellipse. De V
2 =
C
2
p 2
1 1 2e cos u 1 e
2
, on tire :
V A =
MK
a
1 − e
1 1 e
et V P =
MK
a
1 1 e
1 − e
.
86
i
i
i
i
i
i
i
L’utilisation de la première formule de Binet permet d’exprimer la vitesse en fonction de
1
r
et de sa dérivée par rapport à l’angle polaire. L’énergie mécanique s’écrit :
E =
1
2
mV
2
− m
KM
r
=
1
2
mC
2
1
r
2
1
d
1
r
du
2
− m
KM
r
=
1
2
mC
2
(1 1 e cos u)
2
p 2
1
−
e sin u
p
2
− m
C
2
p
1 1 e cos u
p
Tous calculs faits, on a :
E =
1
2
mC
2
p 2
e
2
− 1
Il apparaît clairement que l’énergie des ellipses (et des cercles) est négative, celle des
paraboles nulle et celle des hyperboles positive.
V A
V P
A
P
2b
2a
F 2
F 1
O
J
I
x
y
2. Le cas représenté sur la figure ci-contre
correspond à 0 < e < 1. Les deux foyers
de l’ellipse sont F 1 et F 2 = O. Les distances au centre attractif à l’apogée A et
au périgée P sont obtenues respectivement
pour u = p (r A =
p
1 − e
) et u = 0
(r P =
p
1 1 e
). On conçoit bien que e procure une mesure de « l’écart au cercle » :
plus 0 < e < 1 est proche de 1, plus r A et
r P sont différents et plus l’ellipse est « aplatie ». Comme r A 1 r P = 2a, on a p = a(1 − e
2 )
et l’énergie s’écrit :
E = −
mC
2
2ap
= −m
KM
2a
.
On remarque que le seul paramètre géométrique qui intervient dans l’expression de
l’énergie est le demi grand axe a ; on note par ailleurs que l’énergie mécanique d’une
particule en mouvement sur une ellipse de demi grand axe a est la même que l’énergie
potentielle d’une particule qui se trouverait à la distance 2a du centre attractif.
Puisque la composante radiale du vecteur vitesse est nulle en A et en P, l’égalité des
moments cinétiques en ces deux points s’écrit V A r A = V P r P . On utilise alors l’expression
de la vitesse en fonction de u donnée en tout point par la première formule de Binet pour
exprimer V A r A = V P r P et V A r A = V P r P en fonction des paramètres géométriques de
l’ellipse. De V
2 =
C
2
p 2
1 1 2e cos u 1 e
2
, on tire :
V A =
MK
a
1 − e
1 1 e
et V P =
MK
a
1 1 e
1 − e
.
86