solutions des exercices
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Or, la valeur moyenne de la masse volumique de la matière nucléaire est de l’ordre
10
17 kg.m
−3 (la masse d’un noyau d’hydrogène vaut 1,66 · 10
−27 kg, et son rayon est
de l’ordre du fermi, soit 10
−15 m). A une densité 100 fois supérieure à celle de la
matière nucléaire, il est clair que les particules qui constituent le noyau (les hadrons)
ont subi une transition vers un état de la matière qu’il est difficile de décrire ; une telle
augmentation de densité produirait un déconfinement des quarks (qui sont les constituants
des hadrons). Quoiqu’il en soit, le Soleil ne pourra jamais devenir un trou noir, car il n’est
pas assez massif : son énergie gravitationnelle n’est pas assez importante pour provoquer
un effondrement conduisant à de telles densités.
12 1. Il est commode d’utiliser la deuxième formule de Binet qui donne une expression de l’accélération d’un point matériel soumis à une force centrale dans laquelle la
variable temps a été éliminée grâce à la conservation du moment cinétique. La relation
fondamentale de la dynamique s’écrit :
− →
f = −K
mM
r 2
− → u r = −m
C
2
r 2
d
2
1
r
du 2 1
1
r
− → u r
d’où l’équation différentielle linéaire du second ordre en
1
r
à coefficients constants :
d
2
1
r
du 2 1
1
r
=
KM
C
2
Sa solution, somme de la solution particulière de l’équation avec second membre et de la
solution générale de l’équation sans second membre s’écrit :
1
r
=
KM
C
2
1 A cos(u − w)
w est l’angle de l’axe focal avec l’axe polaire (axe Ox). Si l’axe focal et l’axe polaire sont
confondus, w = 0. Dans ces conditions, l’équation de la trajectoire s’écrit :
r =
p
1 1 e cos u
, où p =
C
2
KM
p est le paramètre de la conique et e son excentricité. Le centre attracteur O est un des
foyers de la conique.
Si e = 0, la trajectoire est un cercle, puisque r ne dépend pas de u.
Si 0 < |e| < 1, la trajectoire est visiblement bornée dans le plan (il n’existe pas de valeur
de u pour laquelle r tend vers l’infini) : il s’agit d’une ellipse.
Si |e| = 1, la trajectoire est une parabole d’axe Ox : r tend vers l’infini pour u = p si
e = 1, pour u = 0 si e = −1.
Si |e| > 1, la trajectoire est une hyperbole d’axe Ox.
1. MÉCANIQUE
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Or, la valeur moyenne de la masse volumique de la matière nucléaire est de l’ordre
10
17 kg.m
−3 (la masse d’un noyau d’hydrogène vaut 1,66 · 10
−27 kg, et son rayon est
de l’ordre du fermi, soit 10
−15 m). A une densité 100 fois supérieure à celle de la
matière nucléaire, il est clair que les particules qui constituent le noyau (les hadrons)
ont subi une transition vers un état de la matière qu’il est difficile de décrire ; une telle
augmentation de densité produirait un déconfinement des quarks (qui sont les constituants
des hadrons). Quoiqu’il en soit, le Soleil ne pourra jamais devenir un trou noir, car il n’est
pas assez massif : son énergie gravitationnelle n’est pas assez importante pour provoquer
un effondrement conduisant à de telles densités.
12 1. Il est commode d’utiliser la deuxième formule de Binet qui donne une expression de l’accélération d’un point matériel soumis à une force centrale dans laquelle la
variable temps a été éliminée grâce à la conservation du moment cinétique. La relation
fondamentale de la dynamique s’écrit :
− →
f = −K
mM
r 2
− → u r = −m
C
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r 2
d
2
1
r
du 2 1
1
r
− → u r
d’où l’équation différentielle linéaire du second ordre en
1
r
à coefficients constants :
d
2
1
r
du 2 1
1
r
=
KM
C
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Sa solution, somme de la solution particulière de l’équation avec second membre et de la
solution générale de l’équation sans second membre s’écrit :
1
r
=
KM
C
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1 A cos(u − w)
w est l’angle de l’axe focal avec l’axe polaire (axe Ox). Si l’axe focal et l’axe polaire sont
confondus, w = 0. Dans ces conditions, l’équation de la trajectoire s’écrit :
r =
p
1 1 e cos u
, où p =
C
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KM
p est le paramètre de la conique et e son excentricité. Le centre attracteur O est un des
foyers de la conique.
Si e = 0, la trajectoire est un cercle, puisque r ne dépend pas de u.
Si 0 < |e| < 1, la trajectoire est visiblement bornée dans le plan (il n’existe pas de valeur
de u pour laquelle r tend vers l’infini) : il s’agit d’une ellipse.
Si |e| = 1, la trajectoire est une parabole d’axe Ox : r tend vers l’infini pour u = p si
e = 1, pour u = 0 si e = −1.
Si |e| > 1, la trajectoire est une hyperbole d’axe Ox.
1. MÉCANIQUE
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