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vitesse de libération pour un objet se trouvant à une distance r du centre attractif par :
V l (r) =
2
KM
r
2. La vitesse de libération du champ de gravitation du Soleil pour la Terre, ou tout objet
se trouvant à la distance r TS du centre du Soleil, est V
S
l =
2
KM S
r TS
≈ 42,2 km.s
−1 . Il
est instructif de la comparer à la vitesse de la Terre dans sa révolution autour du Soleil
(29,8 km.s
−1 ) pour se convaincre que la Terre est bien liée au Soleil.
3. La vitesse de libération du champ de gravitation de la Terre pour un objet se trouvant à
la surface de celle-ci est V
T
l =
2
KM T
R T
≈ 11,2 km.s
−1 . Il est intéressant de la comparer
à la vitesse moyenne V d’agitation thermique des molécules de l’air à la surface terrestre
à température ambiante pour se rendre compte que la Terre retient son atmosphère (même
si une petite fraction de celle-ci s’en échappe chaque jour). Dans le cas d’un gaz parfait
diatomique, V est donné par
1
2
m V
2 =
5
2
k B T . Cette relation est issue de la théorie
cinétique des gaz, où l’on compte une énergie cinétique d’agitation thermique de
1
2
k B T
par degré de liberté. Pour le dioxygène, on obtient V ≈ 0,622 km.s
−1 .
4.a. Le premier postulat de la théorie de la relativité impose que la vitesse d’un point
matériel soit toujours inférieure à la célérité c de la lumière dans le vide. Cela doit être
en particulier le cas de la vitesse de libération du champ de gravitation d’un astre de
masse M et de rayon R à sa surface. Le rayon de Schwarzchild d’un astre est donné par
V l (R SC ) = c, c’est-à-dire R SC = 2
KM
c 2 . C’est le rayon limite que devrait avoir un astre
de masse M donnée pour que la lumière ne puisse pas en sortir ; en clair, c’est le rayon à
partir duquel l’astre deviendrait un trou noir.
b. Pour le Soleil, R SC ≈ 3 km. Si les 2 · 10
30 kg de matière solaire étaient confinés dans
une sphère de rayon inférieure à 3 km, le Soleil serait un trou noir. À la surface de cet
hypothétique trou noir solaire, le champ de gravitation vaudrait
G
∗ (R SC ) =
KM S
R
2
SC
≈ 1,5 · 10
13 m.s
−2
à comparer à la valeur du champ de gravitation à la surface du Soleil actuel :
G(R S ) =
KM S
R
2
S
≈ 300 m.s
−2 .
c. La masse volumique moyenne de ce trou noir solaire vaudrait
r
∗ =
M S
4
3
pR
3
SC
≈ 1,8 · 10
19 kg.m
−3 .
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vitesse de libération pour un objet se trouvant à une distance r du centre attractif par :
V l (r) =
2
KM
r
2. La vitesse de libération du champ de gravitation du Soleil pour la Terre, ou tout objet
se trouvant à la distance r TS du centre du Soleil, est V
S
l =
2
KM S
r TS
≈ 42,2 km.s
−1 . Il
est instructif de la comparer à la vitesse de la Terre dans sa révolution autour du Soleil
(29,8 km.s
−1 ) pour se convaincre que la Terre est bien liée au Soleil.
3. La vitesse de libération du champ de gravitation de la Terre pour un objet se trouvant à
la surface de celle-ci est V
T
l =
2
KM T
R T
≈ 11,2 km.s
−1 . Il est intéressant de la comparer
à la vitesse moyenne V d’agitation thermique des molécules de l’air à la surface terrestre
à température ambiante pour se rendre compte que la Terre retient son atmosphère (même
si une petite fraction de celle-ci s’en échappe chaque jour). Dans le cas d’un gaz parfait
diatomique, V est donné par
1
2
m V
2 =
5
2
k B T . Cette relation est issue de la théorie
cinétique des gaz, où l’on compte une énergie cinétique d’agitation thermique de
1
2
k B T
par degré de liberté. Pour le dioxygène, on obtient V ≈ 0,622 km.s
−1 .
4.a. Le premier postulat de la théorie de la relativité impose que la vitesse d’un point
matériel soit toujours inférieure à la célérité c de la lumière dans le vide. Cela doit être
en particulier le cas de la vitesse de libération du champ de gravitation d’un astre de
masse M et de rayon R à sa surface. Le rayon de Schwarzchild d’un astre est donné par
V l (R SC ) = c, c’est-à-dire R SC = 2
KM
c 2 . C’est le rayon limite que devrait avoir un astre
de masse M donnée pour que la lumière ne puisse pas en sortir ; en clair, c’est le rayon à
partir duquel l’astre deviendrait un trou noir.
b. Pour le Soleil, R SC ≈ 3 km. Si les 2 · 10
30 kg de matière solaire étaient confinés dans
une sphère de rayon inférieure à 3 km, le Soleil serait un trou noir. À la surface de cet
hypothétique trou noir solaire, le champ de gravitation vaudrait
G
∗ (R SC ) =
KM S
R
2
SC
≈ 1,5 · 10
13 m.s
−2
à comparer à la valeur du champ de gravitation à la surface du Soleil actuel :
G(R S ) =
KM S
R
2
S
≈ 300 m.s
−2 .
c. La masse volumique moyenne de ce trou noir solaire vaudrait
r
∗ =
M S
4
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3
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≈ 1,8 · 10
19 kg.m
−3 .
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