solutions des exercices
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L’énergie potentielle d’une particule de masse m dans le champ de l’astre est :
E
g
p = −m
KM
r
= −m
KM
R 1 z
(elle augmente avec z). Si z R, E
g
p s’écrit, au premier ordre en
z
R
:
E
g
p ≈ −m
KM
R
1 −
z
R
≈ mG 0 z 1 C
te
avec l’axe des z orienté en sens inverse de celui de
− →
G . L’expression habituelle de l’énergie
potentielle de pesanteur dans un champ uniforme néglige donc les termes en
z
R
dès le
second ordre.
G(r)
G 0
R
r
3. À l’intérieur d’un astre dont la répartition de masse est à symétrie sphérique et
la masse volumique constante,
−
→
G (qui est
encore radial) se calcule en appliquant le
théorème de Gauss à une surface sphérique
de centre C, de rayon
− →
G :
− →
G .
− →
dS = −4pKM int
où
M int =
4
3
pr
3 r
et
− →
G .
− →
dS = −4pr
2 G(r)
en tenant compte de ce que ce flux est négatif (on désigne par G(r) l’intensité du champ
de gravitation). Il vient G(r) = G 0
r
R
. On remarque qu’à l’intérieur d’un astre de masse
volumique constante, la force de gravitation aurait la forme d’une force de rappel élastique
par rapport au centre. Les variations de G(r) sont représentées sur la figure ci-dessus.
11 1. L’énergie mécanique d’un point matériel de masse m, animé de la vitesse V à
une distance r du centre attractif est :
E =
1
2
mV
2
− m
KM
r
Ainsi, avec la convention d’une énergie potentielle de gravitation nulle lorsque r tend
vers l’infini, les états d’énergie négative sont des états liés. Cela signifie que r est borné
supérieurement (sinon, il est clair que
1
2
mV
2 deviendrait négatif ). En revanche, les états
d’énergie positive sont des états libres au sens où aucune contrainte physique n’empêche r
de tendre vers l’infini. E = 0 correspond à la transition entre les états liés et les états libres ;
le point matériel a alors une énergie cinétique nulle à l’infini. Cela permet de définir la
1. MÉCANIQUE
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L’énergie potentielle d’une particule de masse m dans le champ de l’astre est :
E
g
p = −m
KM
r
= −m
KM
R 1 z
(elle augmente avec z). Si z R, E
g
p s’écrit, au premier ordre en
z
R
:
E
g
p ≈ −m
KM
R
1 −
z
R
≈ mG 0 z 1 C
te
avec l’axe des z orienté en sens inverse de celui de
− →
G . L’expression habituelle de l’énergie
potentielle de pesanteur dans un champ uniforme néglige donc les termes en
z
R
dès le
second ordre.
G(r)
G 0
R
r
3. À l’intérieur d’un astre dont la répartition de masse est à symétrie sphérique et
la masse volumique constante,
−
→
G (qui est
encore radial) se calcule en appliquant le
théorème de Gauss à une surface sphérique
de centre C, de rayon
− →
G :
− →
G .
− →
dS = −4pKM int
où
M int =
4
3
pr
3 r
et
− →
G .
− →
dS = −4pr
2 G(r)
en tenant compte de ce que ce flux est négatif (on désigne par G(r) l’intensité du champ
de gravitation). Il vient G(r) = G 0
r
R
. On remarque qu’à l’intérieur d’un astre de masse
volumique constante, la force de gravitation aurait la forme d’une force de rappel élastique
par rapport au centre. Les variations de G(r) sont représentées sur la figure ci-dessus.
11 1. L’énergie mécanique d’un point matériel de masse m, animé de la vitesse V à
une distance r du centre attractif est :
E =
1
2
mV
2
− m
KM
r
Ainsi, avec la convention d’une énergie potentielle de gravitation nulle lorsque r tend
vers l’infini, les états d’énergie négative sont des états liés. Cela signifie que r est borné
supérieurement (sinon, il est clair que
1
2
mV
2 deviendrait négatif ). En revanche, les états
d’énergie positive sont des états libres au sens où aucune contrainte physique n’empêche r
de tendre vers l’infini. E = 0 correspond à la transition entre les états liés et les états libres ;
le point matériel a alors une énergie cinétique nulle à l’infini. Cela permet de définir la
1. MÉCANIQUE
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