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Le tableau ci-dessous met en correspondance les propriétés de ces forces et des champs
associés.
Force d’interaction entre deux particules
Charges {q, Q}. Masses {m, M}
F e =
1
4p´ 0
qQ
r 2
− → u r
F g = −K
mM
r 2
− → u r
Forces électrostatique
F e et gravitationnelle
F g subies par des particules dans
des champs
− →
E et
− →
G
F e = q
− →
E
F g = m
− →
G
Les champs électrostatique
− →
E et gravitationnel
− →
G dérivent de potentiels scalaires V et F g
− →
E = −
− − →
gradV
− →
G = −
− − →
gradF g
− →
E et
− →
G sont à circulation conservative
− →
rot
− →
E =
− →
0
− →
rot
− →
G =
− →
0
Forme locale du théorème de Gauss :
r e est la densité volumique de charge
électrique et r la masse volumique
div
− →
E =
r e
´ 0
div
− →
G = −4pKr
Forme intégrale du théorème de Gauss :
r e est la charge intérieure et M int la
masse intérieure à la surface de Gauss
− →
E .
− →
dS =
Q int
´ 0
− →
G .
− →
dS = −4pKM int
Relations entre énergies potentielles et
potentiels
E
e
p = qV 1 C
te
E
g
p = mF g 1 C
te
Energies potentielles d’interaction entre
deux particules. Charges {q, Q}. Masses
{m, M}
E
e
p =
1
4p´ 0
qQ
r
1C
te
E
g
p = −m
KM
r
1 C
te
C
R
O
P
2. C est le centre de l’astre, O se trouve à
sa surface et le point P est à une altitude
z = OP.
La répartition de masse étant invariante
dans toute rotation de centre C, le champ
− →
G , (dont la direction appartient aux plans
de symétrie de la distribution de masse) est
alors radial. D’après le théorème de Gauss
pour z > 0,
− →
G est le même que celui que créerait la masse totale de l’astre concentrée en C :
− →
G (P) = −K
M
r 2
− → u r = −K
M
(R 1 z) 2
− → u r
En faisant apparaître le champ de gravitation à la surface de l’astre G 0 = K
M
R 2 , la valeur
du champ de gravitation à l’altitude z est :
G(z) = G 0
1
1 1
z
R
2
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