i
i
i
i
i
i
i
i
dW eff
dr
= −m
C
2
r 3 1 m
k
r 2 s’annule pour r m =
C
2
k
. L’énergie vaut alors en r m :
W eff (r m ) = W em = −
1
2
m
k
2
C
2
W eff
W em
r m
r
0
Les variations de W eff en fonction de r sont
représentées ci-contre.
Les variations de W eff en fonction de r sont
fixées si le moment cinétique, c’est-à-dire
C est donné. Pour r < r m , W eff est répulsif
(radialement) ; la force associée à la partie
répulsive est m
C
2
r 3 = mr
˙
u
2 , où on reconnaît l’analogue d’une force d’entraînement
centrifuge. Le premier terme du potentiel
en
1
2
m
C
2
r 2 est une barrière centrifuge. Il
empêche le point matériel de s’approcher
du centre attractif : on voit que la conservation du moment cinétique imposerait à sa
vitesse angulaire ˙
u de tendre vers l’infini lorsque r → 0.
Si C augmente, la position du minimum r m s’éloigne du centre attractif (r m augmente
comme C
2 ), tandis que la profondeur du puits diminue (comme
1
C
2
). Cette barrière
centrifuge en
1
2
m
C
2
r 2 apparaît pour tout point matériel en mouvement dans un champ
central lorsqu’on cherche une équation radiale. Elle a son analogue dans une description
quantique : c’est elle qui est responsable de la présence du nombre quantique azimutal l
dans la partie radiale de l’équation de Schrödinger décrivant le mouvement de l’électron
de l’atome d’hydrogène.
M 0
O
V 0
r 0
Pour r > r m , W eff est attractif ; la barrière
centrifuge devient négligeable devant la
force d’attraction gravitationnelle lorsque
r augmente.
− → r 0 et
− →
V 0 étant la position et la vitesse
initiales, on a C = r 0 V 0 sin(
− → r 0 ,
− →
V 0 ), où
(
− → r 0 ,
− →
V 0 ) désigne l’angle entre les vecteurs
position et vitesse à t = 0. L’énergie vaut
alors E =
1
2
mV
2
0 − m
k
r 0
. L’angle entre
les deux vecteurs n’intervient pas dans l’expression. Or, si le moment cinétique, c’est-à-dire C, est fixé, les variations de W eff (r)sont
données. Il reste encore la possibilité de faire varier l’énergie. Supposons, pour fixer les
idées, que − → r 0 soit fixé ; C est constant tant que V 0 sin(
− → r 0 ,
− →
V 0 ), c’est-à-dire la projection
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= −m
C
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r 3 1 m
k
r 2 s’annule pour r m =
C
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. L’énergie vaut alors en r m :
W eff (r m ) = W em = −
1
2
m
k
2
C
2
W eff
W em
r m
r
0
Les variations de W eff en fonction de r sont
représentées ci-contre.
Les variations de W eff en fonction de r sont
fixées si le moment cinétique, c’est-à-dire
C est donné. Pour r < r m , W eff est répulsif
(radialement) ; la force associée à la partie
répulsive est m
C
2
r 3 = mr
˙
u
2 , où on reconnaît l’analogue d’une force d’entraînement
centrifuge. Le premier terme du potentiel
en
1
2
m
C
2
r 2 est une barrière centrifuge. Il
empêche le point matériel de s’approcher
du centre attractif : on voit que la conservation du moment cinétique imposerait à sa
vitesse angulaire ˙
u de tendre vers l’infini lorsque r → 0.
Si C augmente, la position du minimum r m s’éloigne du centre attractif (r m augmente
comme C
2 ), tandis que la profondeur du puits diminue (comme
1
C
2
). Cette barrière
centrifuge en
1
2
m
C
2
r 2 apparaît pour tout point matériel en mouvement dans un champ
central lorsqu’on cherche une équation radiale. Elle a son analogue dans une description
quantique : c’est elle qui est responsable de la présence du nombre quantique azimutal l
dans la partie radiale de l’équation de Schrödinger décrivant le mouvement de l’électron
de l’atome d’hydrogène.
M 0
O
V 0
r 0
Pour r > r m , W eff est attractif ; la barrière
centrifuge devient négligeable devant la
force d’attraction gravitationnelle lorsque
r augmente.
− → r 0 et
− →
V 0 étant la position et la vitesse
initiales, on a C = r 0 V 0 sin(
− → r 0 ,
− →
V 0 ), où
(
− → r 0 ,
− →
V 0 ) désigne l’angle entre les vecteurs
position et vitesse à t = 0. L’énergie vaut
alors E =
1
2
mV
2
0 − m
k
r 0
. L’angle entre
les deux vecteurs n’intervient pas dans l’expression. Or, si le moment cinétique, c’est-à-dire C, est fixé, les variations de W eff (r)sont
données. Il reste encore la possibilité de faire varier l’énergie. Supposons, pour fixer les
idées, que − → r 0 soit fixé ; C est constant tant que V 0 sin(
− → r 0 ,
− →
V 0 ), c’est-à-dire la projection
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