solutions des exercices
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l’air. C’est le pendule de Foucault qui constitue l’expérience la plus spectaculaire de mise
en évidence de la force d’inertie de Coriolis due à la rotation de la Terre sur elle même.
9 1. Le théorème du moment cinétique appliqué au point matériel M s’écrit en O :
d − →
s O
dt
=
− − →
OM ∧
− − →
F(r)
Puisque la force est centrale, les vecteurs
− − →
OM et
− − →
F(r) sont parallèles, quelle que soit la
position de M ;
d − →
s O
dt
est donc toujours nul et le moment cinétique est alors constant :
− →
s O = m
− →
C
Comme − →
s O = m
− − →
OM ∧
− →
V = m
− →
C , la définition du produit vectoriel permet d’en
déduire immédiatement que le mouvement est plan, puisque les vecteurs
− − →
OM et
− →
V sont
orthogonaux au vecteur constant
− →
C à tout instant.
Le mouvement dans un champ de forces central s’effectue dans un plan perpendiculaire
au moment cinétique − →
s O . On se place dans ce plan et on repère le point matériel par ses
coordonnées polaires. Avec les notations habituelles, la vitesse s’écrit
− →
V = ˙
r − → u r 1 r ˙
u − → u u .
L’énergie du point matériel de masse m dans le champ de forces central dérivant de
l’énergie potentielle E p (r) s’écrit :
E =
1
2
m
dr
dt
2
1 r
2
du
dt
2
1 E p (r)
La conservation du moment cinétique s’écrit par ailleurs − →
s O = m
− →
C , avec C = r
2
du
dt
.
En remplaçant
du
dt
par
C
r 2 dans l’expression de E, on obtient :
E =
1
2
m
dr
dt
2
1
1
2
m
C
2
r 2 1 E p (r)
Le potentiel effectif W eff (r) =
1
2
m
C
2
r 2 1 E p (r) apparaît ainsi naturellement comme
incluant la conservation du moment cinétique ; la variable angulaire a été éliminée de la
conservation de l’énergie. Il importe de garder présent à l’esprit que le terme
1
2
m
dr
dt
2
dans l’expression de E n’est pas l’énergie cinétique du point matériel, mais seulement sa
partie radiale.
2.a. Dans le cas de l’interaction gravitationnelle :
W eff (r) =
1
2
m
C
2
r 2 − m
k
r
avec k = KM > 0.
1. MÉCANIQUE
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