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i
On résout cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants,
avec second membre par la méthode standard : Une solution particulière de l’équation
avec second membre est telle que
d
2 x
dt
= 0, soit x P (t) =
g cos l
2V
t ; la solution générale
de l’équation sans second membre étant x G (t) = a sin(2Vt 1 w), il est ensuite facile de
trouver la solution x(t) = x P (t) 1 x G (t) qui satisfait les conditions initiales x(t = 0) = 0
et ˙
x(t = 0) = 0 :
x(t) =
g cos l
2V
t −
sin 2Vt
2V
b. Si, conformément aux hypothèses, la région dans laquelle s’effectue la chute est assez
restreinte pour que le champ de pesanteur puisse être considéré comme uniforme, la durée
de la chute est alors petite devant la période (sidérale) de rotation de la Terre T S =
2p
V
;
l’on peut ainsi considérer que Vt 1 pendant toute la chute. On peut donc faire un
développement limité de sin 2Vt au voisinage de 0. On remarque qu’il est nécessaire
d’aller jusqu’à l’ordre 3 (sinon x = 0). On trouve : x(t) ≈
1
3
gV(cos l)t
3
c. Puisque x est positif, on observe dans l’hémisphère Nord une déviation vers l’Est pour
un objet tombant en chute libre. La dépendance en V permet tout de suite de conclure
que x reste petit (la durée de chute est assez petite). On obtient z(t) en intégrant la relation
dz
dt
= −gt 1 2Vx cos l, que l’on peut écrire, compte tenu de l’expression de x(t) :
dz
dt
= −gt 1
2
3
gV
2 (cos
2 l)t
3 = −gt
1 −
2
3
(Vt)
2 (cos
2 l)
L’hypothèse Vt 1 montre qu’il est loisible de négliger l’infiniment petit du second
ordre devant 1 ; on a donc z(t) ≈ −
1
2
gt
2 1 h. L’élimination du temps de chute t c =
2h
g
entre les expressions de x(t c ) et z(t c ) conduit à une expression de la déviation en fonction
de la hauteur de chute :
x(t c ) ≈
2
3
2
g
V(cos l)h
3
2
Notons que l’intégration de l’équation différentielle en V y donne une déviation vers
le Sud très petite devant la déviation vers l’Est, (attendu que V x est très petit) :
y(t) = −
1
12
gV
2 (sin 2l)t
4 , puisque l’on a :
y(t c )
x(t C )
≈
1
12
gV
2 (sin 2l)t
4
c
1
3
gV(cos l)t
3
c
=
1
2
sin l (Vt c ) 1
Pour h = 100 m en un lieu où l = 45
◦ , on trouve x(t c ) ≈ 1,55 cm. La mesure est
difficile dans des conditions correctes, car elle suppose l’absence de tous frottements avec
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On résout cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants,
avec second membre par la méthode standard : Une solution particulière de l’équation
avec second membre est telle que
d
2 x
dt
= 0, soit x P (t) =
g cos l
2V
t ; la solution générale
de l’équation sans second membre étant x G (t) = a sin(2Vt 1 w), il est ensuite facile de
trouver la solution x(t) = x P (t) 1 x G (t) qui satisfait les conditions initiales x(t = 0) = 0
et ˙
x(t = 0) = 0 :
x(t) =
g cos l
2V
t −
sin 2Vt
2V
b. Si, conformément aux hypothèses, la région dans laquelle s’effectue la chute est assez
restreinte pour que le champ de pesanteur puisse être considéré comme uniforme, la durée
de la chute est alors petite devant la période (sidérale) de rotation de la Terre T S =
2p
V
;
l’on peut ainsi considérer que Vt 1 pendant toute la chute. On peut donc faire un
développement limité de sin 2Vt au voisinage de 0. On remarque qu’il est nécessaire
d’aller jusqu’à l’ordre 3 (sinon x = 0). On trouve : x(t) ≈
1
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gV(cos l)t
3
c. Puisque x est positif, on observe dans l’hémisphère Nord une déviation vers l’Est pour
un objet tombant en chute libre. La dépendance en V permet tout de suite de conclure
que x reste petit (la durée de chute est assez petite). On obtient z(t) en intégrant la relation
dz
dt
= −gt 1 2Vx cos l, que l’on peut écrire, compte tenu de l’expression de x(t) :
dz
dt
= −gt 1
2
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gV
2 (cos
2 l)t
3 = −gt
1 −
2
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(Vt)
2 (cos
2 l)
L’hypothèse Vt 1 montre qu’il est loisible de négliger l’infiniment petit du second
ordre devant 1 ; on a donc z(t) ≈ −
1
2
gt
2 1 h. L’élimination du temps de chute t c =
2h
g
entre les expressions de x(t c ) et z(t c ) conduit à une expression de la déviation en fonction
de la hauteur de chute :
x(t c ) ≈
2
3
2
g
V(cos l)h
3
2
Notons que l’intégration de l’équation différentielle en V y donne une déviation vers
le Sud très petite devant la déviation vers l’Est, (attendu que V x est très petit) :
y(t) = −
1
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gV
2 (sin 2l)t
4 , puisque l’on a :
y(t c )
x(t C )
≈
1
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gV
2 (sin 2l)t
4
c
1
3
gV(cos l)t
3
c
=
1
2
sin l (Vt c ) 1
Pour h = 100 m en un lieu où l = 45
◦ , on trouve x(t c ) ≈ 1,55 cm. La mesure est
difficile dans des conditions correctes, car elle suppose l’absence de tous frottements avec
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