solutions des exercices
i
i
i
i
i
i
i
i
La période synodique est la durée séparant deux passages consécutifs au-dessus du même
point de la Terre. Soit J la durée du jour solaire (24 h). La période synodique S est telle
que 1/S = 1/T H − 1/J d’où S ≈ 19 h.
Malgré ces difficultés, le satellite a parfaitement rempli sa mission astrométrique en
mesurant les parallaxes de plus de 100 000 étoiles à 0,002
près et leur position à 0,003
près !
Remarque : : le problème du Capes externe de 2002 (partie B : satellites artificiels,
transfert) se traite de façon très semblable.
13 La sonde décrit une orbite de transfert elliptique dite de HOHMANN, du nom du
physicien qui a étudié ces trajectoires vers 1925. Cette orbite est la plus économique mais
hélas la moins rapide. On quitte l’orbite basse avec une impulsion qui propulse la sonde
jusqu’à l’orbite haute, en suivant cette orbite de transfert, tout en restant sous l’influence
de la gravitation solaire.
1. La durée du transfert correspond à la moitié de la période sur l’orbite de Hohmann. La
planète Mars effectue une révolution en 1,88 an, elle se situe à la distance a du Soleil telle
que T
2 /a
3 = 1 (3e lois de Kepler utilisant les unités an et ua) d’où a =
3
1,88 2 = 1,52 ua.
Le demi-grand axe a H de l’orbite de transfert est tel que 2a H = a T 1 a M où a T et a M sont
les rayons orbitaux de la Terre et de Mars, d’où a H = (1 1 1,52)/2 = 1,26 ua. La période
de cette orbite est donc telle que T
2
H /a
3
H = 1 d’où T H =
(1,26)
3
≈
√
2 = 1,41 an. Le
transfert T 0 M 1 dure la moitié soit 0,707 an ou 8,5 mois.
θ
orbite de Mars
orbite de
transfert
T 0
T opp
M opp
M 1
M 0
T 1
u
a
1 ua
Soleil
2. Pendant ces 8,5 mois (= 258 jours), Mars
tourne de l’angle 180
◦
− u (arc M 0 M 1 )
à raison de 1,88 an pour un tour ; on en
déduit 180
◦
− u = 360
◦ 3 T H /1,88 d’où
u ≈ 44,6
◦ .
Entre les positions M 0 et M opp (opposition de Mars), Mars tourne de l’angle u
autour du Soleil pendant la durée t cherchée (avant l’opposition). La Terre tourne
de l’angle u 1 u pendant cette même durée.
D’où les 2 équations en u et u (ici, t est
en année) : u 1 u = 360
◦
· t/1,00 et
u = 360
◦
·t/1,88 ; on en déduit u = 0, 88·u
d’où u = 44,6/0,88 = 50,7
◦ . Ce qui
conduit à t = 1,88 3 50,7/360 = 0,265 an = 97 jours ≈ 3 mois. On doit donc
partir 97 jours avant l’opposition. On arrivera près de Mars 161 jours après l’opposition
(= 258 − 97).
10. ASTRONOMIE
789
i
i
i
i
i
i
i
i
La période synodique est la durée séparant deux passages consécutifs au-dessus du même
point de la Terre. Soit J la durée du jour solaire (24 h). La période synodique S est telle
que 1/S = 1/T H − 1/J d’où S ≈ 19 h.
Malgré ces difficultés, le satellite a parfaitement rempli sa mission astrométrique en
mesurant les parallaxes de plus de 100 000 étoiles à 0,002
près et leur position à 0,003
près !
Remarque : : le problème du Capes externe de 2002 (partie B : satellites artificiels,
transfert) se traite de façon très semblable.
13 La sonde décrit une orbite de transfert elliptique dite de HOHMANN, du nom du
physicien qui a étudié ces trajectoires vers 1925. Cette orbite est la plus économique mais
hélas la moins rapide. On quitte l’orbite basse avec une impulsion qui propulse la sonde
jusqu’à l’orbite haute, en suivant cette orbite de transfert, tout en restant sous l’influence
de la gravitation solaire.
1. La durée du transfert correspond à la moitié de la période sur l’orbite de Hohmann. La
planète Mars effectue une révolution en 1,88 an, elle se situe à la distance a du Soleil telle
que T
2 /a
3 = 1 (3e lois de Kepler utilisant les unités an et ua) d’où a =
3
1,88 2 = 1,52 ua.
Le demi-grand axe a H de l’orbite de transfert est tel que 2a H = a T 1 a M où a T et a M sont
les rayons orbitaux de la Terre et de Mars, d’où a H = (1 1 1,52)/2 = 1,26 ua. La période
de cette orbite est donc telle que T
2
H /a
3
H = 1 d’où T H =
(1,26)
3
≈
√
2 = 1,41 an. Le
transfert T 0 M 1 dure la moitié soit 0,707 an ou 8,5 mois.
θ
orbite de Mars
orbite de
transfert
T 0
T opp
M opp
M 1
M 0
T 1
u
a
1 ua
Soleil
2. Pendant ces 8,5 mois (= 258 jours), Mars
tourne de l’angle 180
◦
− u (arc M 0 M 1 )
à raison de 1,88 an pour un tour ; on en
déduit 180
◦
− u = 360
◦ 3 T H /1,88 d’où
u ≈ 44,6
◦ .
Entre les positions M 0 et M opp (opposition de Mars), Mars tourne de l’angle u
autour du Soleil pendant la durée t cherchée (avant l’opposition). La Terre tourne
de l’angle u 1 u pendant cette même durée.
D’où les 2 équations en u et u (ici, t est
en année) : u 1 u = 360
◦
· t/1,00 et
u = 360
◦
·t/1,88 ; on en déduit u = 0, 88·u
d’où u = 44,6/0,88 = 50,7
◦ . Ce qui
conduit à t = 1,88 3 50,7/360 = 0,265 an = 97 jours ≈ 3 mois. On doit donc
partir 97 jours avant l’opposition. On arrivera près de Mars 161 jours après l’opposition
(= 258 − 97).
10. ASTRONOMIE
789