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P 2
P 1
Soleil
F
– F
2.b. La masse d’une planète est très faible
devant celle du Soleil : même la planète
Jupiter, pourtant 10 fois plus large que la
Terre, n’a qu’une masse égale à 1/1 000 de
celle du Soleil. La force d’interaction gravitationnelle F entre les planètes P 1 et P 2
de masses M 1 et M 2 est donc négligeable
(au 1
er ordre) devant la force centrale due au
Soleil. Au 2
e ordre, on doit tenir compte de
cette force perturbatrice du mouvement de P 1
(ou P 2 ).
T
B
8,6 al
A
d
3. Application à l’étoile double Sirius A et B. Le rapport des masses M/m vaut 2,44 d’où
M 1 m = 3,44m. La distance linéaire d entre les 2 étoiles A et B se calcule à partir de
la distance de l’étoile à la Terre et de la distance angulaire apparente : d = TA · a avec
TA = 8,6 al et a = 7,5
= 3,6 · 10
−5 rad d’où d ≈ 3 · 10
12 m (on a déjà vu que
1al = 9,5 · 10
15 m). La période orbitale T = 50 ans = 50 3 31,5 · 10
6 s conduit à
M1m = 4p
2 d
3 /(GT
2 ) = 6·10
30 kg. Or m = (M1m)/3,44 ce qui donne m = 0, 87M S
et M = 2,12 · M S . Les deux étoiles ont des masses voisines, en rapport avec celle du
Soleil. L’étoile Sirius B, invisible, est une naine brune qui, refroidie, ne rayonne plus.
2 aH
orbite de transfert
orbite basse
orbite
haute
P
A
T
Terre
R T
12 1. L’orbite géostationnaire correspond à celle d’un satellite artificiel de
la Terre effectuant une révolution en
1 jour sidéral de 86164 s (23 h 56 min)
dans le plan équatorial. La 3
e loi de
Kepler T
2 /a
3 = 4p
2 /(G · M T ) donne
un rayon orbital a = 42 200 km, soit
une altitude de près de 35 800 km. La
vitesse du satellite sur cette orbite est
v = 2pa/T ≈ 11 000 km/h = 3,1 km/s.
2. Le satellite Hipparcos suit une orbite elliptique dont l’apogée (le point le plus éloigné
de la Terre) est égal au rayon de l’orbite
géostationnaire, à 42 200 km du centre de la Terre ; le périgée (le point le plus proche)
vaut 6 940 km (altitude de 560 km). Le demi-grand axe a H de cette ellipse est tel
que 2a H = 42 200 1 6 940 soit a H = 24 570 km. La 3
e loi de Kepler conduit à
T H = 38 250 s ≈ 10, 6 h. L’excentricité de cette orbite vaut 0,72 (l’un des 2 foyers
est le centre de la Terre).
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2.b. La masse d’une planète est très faible
devant celle du Soleil : même la planète
Jupiter, pourtant 10 fois plus large que la
Terre, n’a qu’une masse égale à 1/1 000 de
celle du Soleil. La force d’interaction gravitationnelle F entre les planètes P 1 et P 2
de masses M 1 et M 2 est donc négligeable
(au 1
er ordre) devant la force centrale due au
Soleil. Au 2
e ordre, on doit tenir compte de
cette force perturbatrice du mouvement de P 1
(ou P 2 ).
T
B
8,6 al
A
d
3. Application à l’étoile double Sirius A et B. Le rapport des masses M/m vaut 2,44 d’où
M 1 m = 3,44m. La distance linéaire d entre les 2 étoiles A et B se calcule à partir de
la distance de l’étoile à la Terre et de la distance angulaire apparente : d = TA · a avec
TA = 8,6 al et a = 7,5
= 3,6 · 10
−5 rad d’où d ≈ 3 · 10
12 m (on a déjà vu que
1al = 9,5 · 10
15 m). La période orbitale T = 50 ans = 50 3 31,5 · 10
6 s conduit à
M1m = 4p
2 d
3 /(GT
2 ) = 6·10
30 kg. Or m = (M1m)/3,44 ce qui donne m = 0, 87M S
et M = 2,12 · M S . Les deux étoiles ont des masses voisines, en rapport avec celle du
Soleil. L’étoile Sirius B, invisible, est une naine brune qui, refroidie, ne rayonne plus.
2 aH
orbite de transfert
orbite basse
orbite
haute
P
A
T
Terre
R T
12 1. L’orbite géostationnaire correspond à celle d’un satellite artificiel de
la Terre effectuant une révolution en
1 jour sidéral de 86164 s (23 h 56 min)
dans le plan équatorial. La 3
e loi de
Kepler T
2 /a
3 = 4p
2 /(G · M T ) donne
un rayon orbital a = 42 200 km, soit
une altitude de près de 35 800 km. La
vitesse du satellite sur cette orbite est
v = 2pa/T ≈ 11 000 km/h = 3,1 km/s.
2. Le satellite Hipparcos suit une orbite elliptique dont l’apogée (le point le plus éloigné
de la Terre) est égal au rayon de l’orbite
géostationnaire, à 42 200 km du centre de la Terre ; le périgée (le point le plus proche)
vaut 6 940 km (altitude de 560 km). Le demi-grand axe a H de cette ellipse est tel
que 2a H = 42 200 1 6 940 soit a H = 24 570 km. La 3
e loi de Kepler conduit à
T H = 38 250 s ≈ 10, 6 h. L’excentricité de cette orbite vaut 0,72 (l’un des 2 foyers
est le centre de la Terre).
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