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10 1. Le barycentre O de S et T est situé à la distance d de S, définie par l’égalité
M T · (a − d) = M S · d d’où d/a ≈ M T /M S = 3 · 10
−6 . Avec a = 150 · 10
6 km, le
barycentre est situé à d = 450 km du centre du Soleil, de rayon 700 000 km. On peut
donc confondre O et S.
S
T
T
M S
M T
M S
S
P
O
a – x
a – d
d
m
x
2. La masse m en P est soumise à 3 forces :
– la gravitation due au Soleil : G·m·M S /(a−x)
2
– la gravitation due à la Terre : G · m · M T /x
2
– la force centripète due au mouvement circulaire de P autour de S : m · v
2 /(a − x) d’où
l’équation d’équilibre de P :
m · v
2
a − x
=
G · m · M S
(a − x) 2 −
G · m · M T
x 2
(équation E)
3. Dans le cas d’un mouvement uniforme de période T , sur une orbite circulaire de
rayon r, la vitesse est v = 2pr/T ; la force centripète est la force de gravitation
G · m · M
r 2
=
m · v
2
r
d’où v
2 = G·M/r ce qui conduit à la 3
e loi de Kepler
T
2
a 3 =
4p
2
G · M
.
En réalité, le dénominateur est G · (M 1 m) car le mouvement a lieu autour du barycentre
(de masse M 1 m). Ici, la vitesse orbitale de P est v = 2p(a − x)/T d’où :
v
2 (P) =
(a − x)
2
a 3
· G · (M S 1 M T )
4. On remplace cette expression de v
2 dans (E) :
a − x
a 3 · (M S 1 M T ) =
M S
(a − x) 2 −
M T
x 2
ce qui conduit à :
M S .
a
3
− (a − x)
3
a 3 .(a − x) 2 = M T ·
x
2 .(a − x) 1 a
3
a 3 .x 2
Or a
3
−(a−x)
3 = 3a
2 x−3ax
2 1x
3
≈ 3a
2 x si x a. En gardant cette hypothèse (x a),
l’expression précédente devient M S ·
3x
a 3 = M T ·
1
x 2 d’où le rapport
x
a
≈
3
M T
3 · M S
= 0,01
ce qui confirme l’hypothèse faite. Le point P est donc situé au 1/100 de la distance du
Soleil, à x = 1,5 million de km de la Terre. C’est le point de Lagrange L 1 .
5. Le point équigravitationnel Q est tel qu’il y a égalité des forces de gravitation (mais
sans mouvement orbital) :
G · m · M S
(a − y) 2 =
G · m · M T
y 2
d’où
y
a − y
2
=
M T
M S
.
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10 1. Le barycentre O de S et T est situé à la distance d de S, définie par l’égalité
M T · (a − d) = M S · d d’où d/a ≈ M T /M S = 3 · 10
−6 . Avec a = 150 · 10
6 km, le
barycentre est situé à d = 450 km du centre du Soleil, de rayon 700 000 km. On peut
donc confondre O et S.
S
T
T
M S
M T
M S
S
P
O
a – x
a – d
d
m
x
2. La masse m en P est soumise à 3 forces :
– la gravitation due au Soleil : G·m·M S /(a−x)
2
– la gravitation due à la Terre : G · m · M T /x
2
– la force centripète due au mouvement circulaire de P autour de S : m · v
2 /(a − x) d’où
l’équation d’équilibre de P :
m · v
2
a − x
=
G · m · M S
(a − x) 2 −
G · m · M T
x 2
(équation E)
3. Dans le cas d’un mouvement uniforme de période T , sur une orbite circulaire de
rayon r, la vitesse est v = 2pr/T ; la force centripète est la force de gravitation
G · m · M
r 2
=
m · v
2
r
d’où v
2 = G·M/r ce qui conduit à la 3
e loi de Kepler
T
2
a 3 =
4p
2
G · M
.
En réalité, le dénominateur est G · (M 1 m) car le mouvement a lieu autour du barycentre
(de masse M 1 m). Ici, la vitesse orbitale de P est v = 2p(a − x)/T d’où :
v
2 (P) =
(a − x)
2
a 3
· G · (M S 1 M T )
4. On remplace cette expression de v
2 dans (E) :
a − x
a 3 · (M S 1 M T ) =
M S
(a − x) 2 −
M T
x 2
ce qui conduit à :
M S .
a
3
− (a − x)
3
a 3 .(a − x) 2 = M T ·
x
2 .(a − x) 1 a
3
a 3 .x 2
Or a
3
−(a−x)
3 = 3a
2 x−3ax
2 1x
3
≈ 3a
2 x si x a. En gardant cette hypothèse (x a),
l’expression précédente devient M S ·
3x
a 3 = M T ·
1
x 2 d’où le rapport
x
a
≈
3
M T
3 · M S
= 0,01
ce qui confirme l’hypothèse faite. Le point P est donc situé au 1/100 de la distance du
Soleil, à x = 1,5 million de km de la Terre. C’est le point de Lagrange L 1 .
5. Le point équigravitationnel Q est tel qu’il y a égalité des forces de gravitation (mais
sans mouvement orbital) :
G · m · M S
(a − y) 2 =
G · m · M T
y 2
d’où
y
a − y
2
=
M T
M S
.
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