i
i
i
i
i
i
i
i
Exercice 10 Point de Lagrange
On suppose que la Terre T décrit une orbite circulaire de rayon a autour du barycentre O
du système Soleil-Terre. Un autre corps P, de masse m, tourne également autour de O,
de façon que les points O, P, T restent alignés, dans cet ordre (P et T ont donc la même
période orbitale). Si P et T sont distants de x, la distance OP vaut a − x. La constante de
gravitation est G = 6,67 · 10
−11 SI.
1. Avec les valeurs numériques suivantes M S = 2 · 10
30 kg, M T = 6.10
24 kg, m = 100 kg
et a = 150 · 10
6 km, montrer qu’il est légitime de confondre les points O et S (centre du
Soleil).
2. En remarquant que, dans le mouvement circulaire de P à la vitesse v, la force centripète
agissant sur P équilibre les forces gravitationnelles dues à S et T, écrire l’équation régissant
le mouvement de P en fonction de v, a, x, M S et M T .
3. Retrouver la 3
e loi de Kepler dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme. En
déduire la vitesse orbitale v de P.
4. Compte tenu des valeurs relatives des masses, montrer que le rapport x/a est voisin de
0,01. En déduire la distance x = PT (en km).
5. Calculer la distance y = QT du point Q où les forces gravitationnelles du Soleil et de
la Terre ont la même valeur. Comparer x et y.
6. En 1772, Joseph LAGRANGE (1736-1813) a montré qu’un objet placé en ce point P
(lequel est appelé 1
er point de Lagrange ou L 1 ) à vitesse relative nulle reste en équilibre
(instable), aligné avec S et T dans le mouvement annuel de la Terre. C’est le cas du
satellite d’observation solaire SOHO lancé en décembre 1995 qui pointe en permanence
son télescope vers le Soleil. Quel peut être l’intérêt de placer un tel satellite à cet endroit,
plutôt qu’en orbite autour de la Terre (ce qui serait beaucoup moins onéreux) ?
Exercice 11
Système d’étoiles doubles
1. On considère deux corps A et B de masse M et m, distants de a, en rotation autour de
leur barycentre O sous l’action de la gravitation. On supposera les mouvements circulaires
uniformes.
a. Exprimer les distances r 1 et r 2 de m et M à O en fonction de a, m et M.
b. Calculer les vitesses orbitales V 1 et V 2 (par rapport à O) en fonction de a, m, M et G
(constante de gravitation).
c. En déduire l’expression de la 3
e loi de Kepler : T
2 /a
3 = 4p
2 /[G · (M 1 m)].
2. Le Système solaire n’est pas un système double, il est « multiple ».
a. Définir succinctement les mots étoile, planète, satellite, Lune, lune.
b. Pour quelle(s) raison(s) peut-on étudier le mouvement de chacune des planètes sous la
seule action gravitationnelle du Soleil en négligeant au 1
er ordre celles des autres planètes ?
10. ASTRONOMIE
775
i
i
i
i
i
i
i
Exercice 10 Point de Lagrange
On suppose que la Terre T décrit une orbite circulaire de rayon a autour du barycentre O
du système Soleil-Terre. Un autre corps P, de masse m, tourne également autour de O,
de façon que les points O, P, T restent alignés, dans cet ordre (P et T ont donc la même
période orbitale). Si P et T sont distants de x, la distance OP vaut a − x. La constante de
gravitation est G = 6,67 · 10
−11 SI.
1. Avec les valeurs numériques suivantes M S = 2 · 10
30 kg, M T = 6.10
24 kg, m = 100 kg
et a = 150 · 10
6 km, montrer qu’il est légitime de confondre les points O et S (centre du
Soleil).
2. En remarquant que, dans le mouvement circulaire de P à la vitesse v, la force centripète
agissant sur P équilibre les forces gravitationnelles dues à S et T, écrire l’équation régissant
le mouvement de P en fonction de v, a, x, M S et M T .
3. Retrouver la 3
e loi de Kepler dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme. En
déduire la vitesse orbitale v de P.
4. Compte tenu des valeurs relatives des masses, montrer que le rapport x/a est voisin de
0,01. En déduire la distance x = PT (en km).
5. Calculer la distance y = QT du point Q où les forces gravitationnelles du Soleil et de
la Terre ont la même valeur. Comparer x et y.
6. En 1772, Joseph LAGRANGE (1736-1813) a montré qu’un objet placé en ce point P
(lequel est appelé 1
er point de Lagrange ou L 1 ) à vitesse relative nulle reste en équilibre
(instable), aligné avec S et T dans le mouvement annuel de la Terre. C’est le cas du
satellite d’observation solaire SOHO lancé en décembre 1995 qui pointe en permanence
son télescope vers le Soleil. Quel peut être l’intérêt de placer un tel satellite à cet endroit,
plutôt qu’en orbite autour de la Terre (ce qui serait beaucoup moins onéreux) ?
Exercice 11
Système d’étoiles doubles
1. On considère deux corps A et B de masse M et m, distants de a, en rotation autour de
leur barycentre O sous l’action de la gravitation. On supposera les mouvements circulaires
uniformes.
a. Exprimer les distances r 1 et r 2 de m et M à O en fonction de a, m et M.
b. Calculer les vitesses orbitales V 1 et V 2 (par rapport à O) en fonction de a, m, M et G
(constante de gravitation).
c. En déduire l’expression de la 3
e loi de Kepler : T
2 /a
3 = 4p
2 /[G · (M 1 m)].
2. Le Système solaire n’est pas un système double, il est « multiple ».
a. Définir succinctement les mots étoile, planète, satellite, Lune, lune.
b. Pour quelle(s) raison(s) peut-on étudier le mouvement de chacune des planètes sous la
seule action gravitationnelle du Soleil en négligeant au 1
er ordre celles des autres planètes ?
10. ASTRONOMIE
775