i
i
i
i
i
i
i
i
Terre au périhélie (point le plus proche du Soleil) à 2R A = 1 887,8
début juillet, lors du
passage à l’aphélie (le plus loin du Soleil). Le diamètre linéaire du Soleil (2R 0 ) est voisin
de 1,4·10
6 km et la distance moyenne de la Terre au Soleil vaut d 1 = 1 ua = 150·10
6 km.
Terre
disque du Soleil
d
R 0
R 0
S
a. Soit R 1 le rayon apparent du Soleil quand la Terre
est à la distance d 1 (du Soleil). Donner une estimation
de R 1 .
b. Quand la distance ST vaut d, calculer, en fonction
de R 1 et de d 1 , l’angle a sous lequel on voit le demi-diamètre du Soleil. On donnera d’abord
l’expression exacte, puis une expression approchée, compte tenu des valeurs numériques.
d A
d P
T
o r b it e de la T e r r e
A
P
Soleil
c. L’excentricité orbitale étant e, les distances du périhélie (d P ) et de l’aphélie (d A ) au Soleil se calculent en
fonction de e et de d 1 par les relations d P = d 1 · (1 − e)
et d A = d 1 · (1 1 e). En déduire les expressions de
R A et de R P en fonction de R 1 et de e et montrer que
R 1 se calcule par la moyenne harmonique de R A et de
R P . En déduire les valeurs numériques de R 1 et de e.
d. L’énergie solaire arrivant sur Terre étant proportionnelle à l’inverse du carré de la distance au
Soleil, montrer que la Terre reçoit en janvier près
de 7 % d’énergie de plus qu’en juillet. Que peut-on
en conclure ?
Gravitation
Exercice 4
Newton, la pomme et la Lune
Pour vérifier la loi de gravitation en 1/r
2 , où r est la distance entre les masses mises en jeu,
NEWTON a fait le raisonnement suivant dès 1666 (publié dans les Principia, 1687, Livre
III, proposition IV) : « pendant la première seconde de
chute, une pomme tombe d’une hauteur H , alors que
la Lune, située à 60 rayons terrestres du centre de la
Terre, « tombe » de la distance h = AB ».
A
T
B
L
d
d
h
orbite de
la Lune
Une révolution lunaire s’effectue en 27 j 8 h (période
sidérale). Une lunaison dure en moyenne 29 j 13 h
(période synodique). Newton ne disposera d’une
« bonne » valeur du rayon terrestre R T que vers 1682
(mesures de Jean PICARD en 1670). En prenant ici la
valeur R T = 6 400 km, calculer numériquement H
et h puis le rapport H /h. Conclure.
10. ASTRONOMIE
773
i
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Terre au périhélie (point le plus proche du Soleil) à 2R A = 1 887,8
début juillet, lors du
passage à l’aphélie (le plus loin du Soleil). Le diamètre linéaire du Soleil (2R 0 ) est voisin
de 1,4·10
6 km et la distance moyenne de la Terre au Soleil vaut d 1 = 1 ua = 150·10
6 km.
Terre
disque du Soleil
d
R 0
R 0
S
a. Soit R 1 le rayon apparent du Soleil quand la Terre
est à la distance d 1 (du Soleil). Donner une estimation
de R 1 .
b. Quand la distance ST vaut d, calculer, en fonction
de R 1 et de d 1 , l’angle a sous lequel on voit le demi-diamètre du Soleil. On donnera d’abord
l’expression exacte, puis une expression approchée, compte tenu des valeurs numériques.
d A
d P
T
o r b it e de la T e r r e
A
P
Soleil
c. L’excentricité orbitale étant e, les distances du périhélie (d P ) et de l’aphélie (d A ) au Soleil se calculent en
fonction de e et de d 1 par les relations d P = d 1 · (1 − e)
et d A = d 1 · (1 1 e). En déduire les expressions de
R A et de R P en fonction de R 1 et de e et montrer que
R 1 se calcule par la moyenne harmonique de R A et de
R P . En déduire les valeurs numériques de R 1 et de e.
d. L’énergie solaire arrivant sur Terre étant proportionnelle à l’inverse du carré de la distance au
Soleil, montrer que la Terre reçoit en janvier près
de 7 % d’énergie de plus qu’en juillet. Que peut-on
en conclure ?
Gravitation
Exercice 4
Newton, la pomme et la Lune
Pour vérifier la loi de gravitation en 1/r
2 , où r est la distance entre les masses mises en jeu,
NEWTON a fait le raisonnement suivant dès 1666 (publié dans les Principia, 1687, Livre
III, proposition IV) : « pendant la première seconde de
chute, une pomme tombe d’une hauteur H , alors que
la Lune, située à 60 rayons terrestres du centre de la
Terre, « tombe » de la distance h = AB ».
A
T
B
L
d
d
h
orbite de
la Lune
Une révolution lunaire s’effectue en 27 j 8 h (période
sidérale). Une lunaison dure en moyenne 29 j 13 h
(période synodique). Newton ne disposera d’une
« bonne » valeur du rayon terrestre R T que vers 1682
(mesures de Jean PICARD en 1670). En prenant ici la
valeur R T = 6 400 km, calculer numériquement H
et h puis le rapport H /h. Conclure.
10. ASTRONOMIE
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